自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
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第二章 线性系统的数学模型
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
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第二章 线性系统的数学模型
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
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第二章 线性系统的数学模型
拉氏反变换的定义
其中L－1控制原理
第二章 线性系统的数学模型
Part 2.3.2.1 拉氏变换的计算
2.2.3 线性化方法
增量 （微小偏差法） 非线性方程 局部线性增量方程
假设： 在控制系统整个调节过程 中，所有变量与稳态值之间 只会产生足够微小的偏差。 以微小偏差法为基础，运 动方程中各变量就不是它们 的绝对值，而是它们对额定 工作点的偏差。
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第二章 线性系统的数学模型
描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
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第二章 线性系统的数学模型
B(s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm F ( s) ,m n n n 1 A(s) a0 s a1s .... an1s bn
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
第二章 线性系统的数学模型
单摆模型(线性化)
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第二章 线性系统的数学模型
液面系统线性化
常数！
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.3 拉氏变换及其反变换
2.3.1 拉氏变换的定义
2.3.2 拉氏变换的计算
2.3.3 拉氏变换求解方程
拉氏变换
拉氏反变换
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第二章 线性系统的数学模型
单摆(非线性)
是未知函数 的非线性函数，
所以是非线性模型。
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第二章 线性系统的数学模型
液面系统(非线性)
是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。
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第二章 线性系统的数学模型
2.2.2 线性化问题的提出 线性系统优点：
例如微分方程中，
将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关 的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。
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第二章 线性系统的数学模型
2级RC无源网络
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.2 非线性数学模型的线性化
2.2.1 常见非线性模型 2.2.2 线性化问题的提出
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化 线性与非线性
分布性与集中性
参数时变性
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第二章 线性系统的数学模型
机械运动系统的三要素 质量 M 弹簧 K 阻尼 B
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
实例
机械平移 机械旋转
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第二章 线性系统的数学模型
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.4 典型环节及其传递函数
2.4.1 传递函数的定义
2.4.2 典型环节的传递函数
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.4.1 传递函数的定义 在零初始条件( 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0 )下， 线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输 入量的拉氏变换之比
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.3.1 拉氏变换的定义 设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 0 f (t )e st dt 在s的某一域内收敛 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理
延时定理
卷积定理
初值定理
终值定理
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第二章 线性系统的数学模型
线性定理
叠加定理
比例定理
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可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。
线性系统缺点：
有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；
非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
线性化定义
将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的 线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
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第二章 线性系统的数学模型
叠加原理：
可加性 齐次性
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x) f ( x)
不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。
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第二章 线性系统的数学模型
常见非线性情况
饱和非线性 死区非线性
间隙非线性
继电器非线性
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Example Example
单摆 液面系统
单摆 液面系统 多变量
2.2.3 线性化方法
单变量
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第二章 线性系统的数学模型
2.2.1 常见非线性模型
数学物理方程中的线性方程：
针对时间变量的常微分方程：
线性方程指满足叠加原理
未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量
电气系统三元件
电阻
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
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第二章 线性系统的数学模型
例3、RLC 串联网络电路
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第二章 线性系统的数学模型
相似物理系统
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.1.3 提取数学模型的步骤
划分环节
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第二章 线性系统的数学模型
例1、机械平移系统
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
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第二章 线性系统的数学模型
例2、机械旋转系统
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第二章 线性系统的数学模型
条件： 分母多项式能分解成因式
F ( s) B( s) K ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) A( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
多项式极点
p1 , p2 ,..., pn
多项式零点
z1 , z2 ,..., zm
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第二章 线性系统的数学模型
Part 2.3.3 拉氏变换求解线性微分方程 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
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第二章 线性系统的数学模型
微分方程式的解
写出每或一环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式
二级RC无源网络 实例：
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第二章 线性系统的数学模型
划分环节
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程） 根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
L[ xc (t )] X c ( s) G( s) L[ xr (t )] X r ( s)
第二章 线性系统的数学模型
微分定理
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第二章 线性系统的数学模型
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
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第二章 线性系统的数学模型
积分定理
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第二章 线性系统的数学模型
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
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负载效应
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第二章 线性系统的数学模型
写出每或一环节(元件) 运动方程式