基本不等式专题知识点:1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)4.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注意:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2(2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x 2≥23x 2·12x 2= 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x ≥2x ·1x=2;当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧技巧一:凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项,5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
技巧二:凑系数 例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。
解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。
变式:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
解:∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三: 分离 技巧四:换元例:求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+((当且仅当x =1时取“=”号)。
解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++)当,即t=时,4259y t t≥⨯=(当t=2即x =1时取“=”号)。
技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数()af x x x=+的单调性。
例:求函数224y x =+的值域。
24(2)x t t +=≥,则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=,但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52y ≥。
所以,所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
技巧六:整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
例:已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值。
错解..:0,0x y >>,且191x y +=,∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因:解法中两次连用均值不等式,在2x y xy +≥等号成立条件是x y =,在1992x y xy+≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误。
因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解:190,0,1x y x y >>+=,()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时,上式等号成立,又191x y +=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。
技巧七例:已知x ,y 为正实数,且x 2+y 22=1,求x 1+y 2的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab ≤a 2+b 22。
同时还应化简1+y 2 中y 2前面的系数为 12, x1+y 2 =x 2·1+y 22=2x ·12 +y 22下面将x ,12 +y 22 分别看成两个因式: x ·12 +y 22 ≤x 2+(12 +y 22)22 =x 2+y 22 +122=34即x1+y 2 = 2 ·x12 +y 22 ≤ 342技巧八:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:a =30-2b b +1 , ab =30-2b b +1 ·b =-2 b 2+30bb +1由a >0得,0<b <15 令t =b +1,1<t <16,ab =-2t 2+34t -31t =-2(t +16t )+34∵t +16t ≥2t ·16t=8∴ ab ≤18 ∴ y ≥118当且仅当t =4,即b =3,a =6时,等号成立。
法二:由已知得:30-ab =a +2b ∵ a +2b ≥22 ab ∴ 30-ab ≥22 ab令u =ab 则u 2+2 2 u -30≤0, -5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ,ab ≤18,∴y ≥118点评:①本题考查不等式ab ba ≥+2)(+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式230ab a b =++)(+∈R b a ,出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式ab ba ≥+2)(+∈R b a ,,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范围.技巧九、取平方例: 求函数15()22y x <<的最大值。
解析:注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >,所以0y <≤当且仅当21x -=52x -,即32x =时取等号。
故max y = 应用二:利用均值不等式证明不等式例:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。
求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又111a b c a a a -+-==≥解:a 、b 、c R +∈,1a b c ++=。
∴111a b c a a a -+-==≥。
同理11b -≥11c -≥111221118ac ab a b c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
当且仅当13a b c ===时取等号。
应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
解:令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=,99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。
16k ∴≥ ,(],16m ∈-∞应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是 .分析:∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q (p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R>Q>P 。