问题提出 1.计算随机事件发生的概率，我们已经学习 了哪些方法?
（1）通过做试验或计算机模拟，用频率 估计概率；
（2）利用古典概型的概率公式计算.
2.古典概型有哪两个基本特点？
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个（有限性）；
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可 能性）.
3.在现实生活中，常常会遇到试验的所有可 能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典 概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须 学习新的方法来解决这类问题.
几何概型
引例 为什么要学习几何概型?
在概率论发展的早期，就已经注意到只考虑那种仅 有有限个等可能结果的随机试验是不够。如向一个圆 面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点 都是等可能的，但是试验可能出现的结果有无限多个。
• 问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
1
则以转盘（1）为游戏工具时，P("甲获胜") 2 1
12
3
以转盘（2）为游戏工具时，P("甲获胜") 5 3
15
几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型 为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
20 20
1
P（获得100元购物券）= 2 0
P（获得50购物券）=
21 20 10
P（获得20购物券）=
4 20
1 5
练取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向 正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
甲顾客购物120元，他获得购物券的概率 是多少？他得到100元、50元、20元的购物 券的概率分别是多少？
绿 黄
绿
黄
绿 绿 红
思维引导：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转
动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿
色，因此对于顾客来说：
P（获得购物券）= 1 2 4 7
甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度（面积）有关，而与字母B所在区域的位 置无关.
• 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有 关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向 圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相 邻,甲获胜的概率是不变的.
因此：把转盘的圆周的长度设为1，
要使得等车的时间不超过
3 分钟，即到达的时刻应该是
图中 A 包含的样本点，
0←
S
p
=
A 的长度 —————
=
3 ——
=
0.3 。
S 的长度
10
→10 □
应用深化例：某商场为了吸引顾客，设立了 一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购 买100元的商品，就能获得一次转动转盘的 机会。如果转盘停止时，指针正好对准红、 黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50 元、20元的购物券（转盘等分成20份）
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P(
A)
构成事件A的区域长度（面积或体积）
.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想 听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
分析：假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可 能的，但0~60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算 随机事件发生的概率。 我们可以通过随机模拟的方法得到随机事件发生的概率的近似 值，也可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。 因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间任何一个时刻打 开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率 只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合 几何概型的条件。
解 设甲乙二人到达预定地点的
y
时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则 30
0 x 30 0 y 30
二人会面 x y 10 10
2
30
(30 10)2
5
p
2
30
9
10
x
30
甲乙两船都要在某个泊位停靠6小时，假定他 们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘
中至少有一艘在停泊时必须等待的概率。
打开收音机的时刻X是随机的，可以是0～60之间的任何 一刻，并且是等可能的。
称X服从[0，60]上的均匀分布， X为[0，60]上的随机 数。
巩固练习 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机 到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？
解. 以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S， 乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何 一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
解：设甲到达的时间为x，乙为y，则
0x,y24
则0xy6
概率为 112： 8422 176
课堂小结
1.几何概型的特点. 2.古典概型与几何概型的区别：
1）两种模型的基本事件发生的可能性都相等； 2）古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则 要求基本事件有无限多个。 3.几何概型的概率公式及运用.
602 302
P(A)
2 602
87.5%.
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立 几何模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.
几何概型的计算：会面问题
练习 甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会 面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。 求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6： 30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。
P (A ) 全 部 构 结 成 果 事 所 件 构 A 的 成 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 或 积 体 或 积 体 ） 积 ）
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。