若有提前执行的可能性，则：
f i,j m S 0 u j a d N jx K ,e { r t[ p i ! ,j 1 f ( 1 p ) f i 1 ,j]}
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20.1.6 估计Delta与其他希腊值
f1,1 f1,0 S0u S0d
[f( 2 ,2 f2 ,1 )/S (0 u 0 2 .5 S ( 0 S )0 u ] 2 [ fS ( 2 ,0 1 d 2 ) f2 ,0 )/S (0 S 0 d 2 )] f2,1 f0,0
第20章
基本数值方法
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第20章 基本数值方法
20.1 二叉树 20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价 20.3 对于支付股息股票的二叉树模型 20.4 构造树形的其他方法 20.5 参数依赖于时间的情形 20.6 蒙特卡罗模拟法 20.7 方差缩减程序 20.8 有限差分法
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2t
f* f
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20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定价
当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已 知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对 于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风 险利率。
在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已
知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的
形状如下图所示。
Su S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
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将股票价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期 权有效期内所有未来股息的贴现值。假设在期权有效期内只有一个 除息日，则在时刻 it 不确定部分的价值为：
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1)ujdij
j0,1,LL,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格
为：S(1i)ujdij
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
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20.3.2 已知股息数量的情形
S*(it)S(it) 当 it 时 S * (i t) S (i t) D e r( i t) 当 it 时（D为股息）
fd Sd
代入上式就可得到：
fer t pfu1pfd
其中
ert d p
ud
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20.1.1 风险中性定价
在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
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20.1.2 确定p,u,d
在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Sret pSu (1p)Sd ert pu (1p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
S 22 t p S 2 u 2 ( 1 p ) S 2 d 2 S 2 [ p u ( 1 p ) d ] 2 2 t p 2 ( 1 u p ) d 2 p ( 1 u p ) d 2
如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t时间长度
内以无风险利率 r贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前 执行期权和继续再持有 时t 间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 大者作为本结点的期权价值。
例20-1 DerivaGem示范
e(rq)t p u(1p)d p e(rq)t d
ud
u e t
d e t
Derivagem求解例20-3，20-4
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20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.3.1 股息收益率是已知的情形
假设股息离散支付，股息收益率已知
可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处股票价格仍为：Sju dij,j0,1,,i
再设定：u 1/ d（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和
Rubinstein所用的条件）
ert d
由以上三式可得，当 t 很小时：p u d
u e t
d e t
从而 fer t pfu1pfd
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
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20.1.3 资产价格的树形
2
20.1 二叉树
Su p
把期权的有效期分为很多很小的时间间
S 1-p Sd
隔 ，t 并假设在每一个时间间隔 t 内证
券价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 S u ；
t 时间内资产价格的变动 2、下降到原先的 d 倍，即 S d 。
其中 u 1，d 1 .如图所示。价格上升的概率假设为 p ，下降的概率假设为
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20.1.5 代数表达式
假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u dj ij
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
fN ,jmS a 0ujx dN (jK ,0) 其中 j0,1,LL,N
假定期权不被提前执行，则：
fije r t[p fi 1 ,j 1 (1p )fi 1 ,j] (0iN ,0ji) （表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
Su4 Su3
Su2
Su2
Su
Su
S
S
SHale Waihona Puke SdSdSd2 Sd2
Sd3
Sd4
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：
S0ujdij 其中 j0,1,LL,i
由于 u
1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
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20.1.4 通过树形倒推计算
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
1 p 。
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 f u 和 f d 。
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无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 SuuSdfd。则组合为无风险组合
此时
fu fd Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S fS u fue r t
将
fu Su