2-1 已知系统的微分方程为()())(4)(23322t u e t r dt t dr dtt r d t -=++ 且初始条件为,4)0( ,3)0(='=--r r 求系统的完全响应、自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应。

【解】：（一）自由响应()h r t ，即齐次解，可以按照如下方法求得：令()()2232()0d r t dr t r t dt dt++=， 特征方程为：2320λλ++= ，特征根：11λ=- ，22λ=-，特征模式为t e -，2t e -，于是212()t t h r t A e A e --=+（二）强迫响应()p r t ，即特解，可以按照如下方法求得（参见表2-3）：因为原方程中的强迫项为34()te u t -，所以3()t p r Be t -=，将此特解代入原方程，得到2B = （三）完全解()r t ，可以按照如下方法求得：3212()()()2t t h p t r t r t r t Ae A e e ---=+=++ 由于完全解通常是在0t > 的条件下求得，因此需要知道初始条件(0)r + ，(0)r +' 。

观察原方程可以看出，方程的右边不含冲激函数()t δ ，且在0t = 附近有界，于是在0t = 附近()r t '' 有界，()r t ' 连续，()r t 连续，因此(0)(0)3r r +-==， (0)(0)4r r +-''==根据以上初始条件，可以解出完全解()r t 中的常数1212, 11A A ==- ，故23()12112t t t r t e e e ---=-+（四）零输入响应()zi r t令()()2232()0d r t dr t r t dt dt++=，按照步骤（一）同样的方法可以得到： 212()t t zi r t C e C e --=+，由于输入信号为零，系统没有外部输入信号的激励作用，只在系统内部储能的作用下，按照系统固有的特征模式（t e -和2t e -）运动，此时系统保持连续平稳的运动状态，初始条件不会产生跃变，因此(0)(0)3zi zi r r +-==， (0)(0)4zizi r r +-''== ，将它们代入()zi r t 的表达式，得到1210, C 7C ==-，故2()107t t zi r t e e --=-（五）零状态相应()zs r t此时的微分方程可以写成()()23232()4()zs zs t zs d r t dr t r t e u t dt dt-++= 初始条件为(0)0, (0)0zs zsr r --'==。

根据完全解的表达式可以得到1322()2t t zs t r t D e D e e ---=++用步骤（三）同样的分析方法可以知道(0)(0)0zs zs r r +-==，(0)(0)0zszs r r +-''==，将它们代入()zs r t 的表达式，得到122, D 4D ==-，故23()242t s t t z r t e e e ---=-+2-2 求系统)(3)(2)( t e t r t r =+'的冲激响应。

【解】：方法一：时域经典法令()()e t t δ= ，系统方程变为()2()3()r t r t t δ'+=，由于冲激响应是一种零状态响应，初始条件为(0)0r -= ，因此，需要考虑从0-到0+状态的跳变问题，以求得(0)r +。

根据冲激函数平衡法，观察方程两边可以知道，()r t ' 中含有()t δ ，()r t 中不含()t δ，故()r t 在0t = 附近有界，即|()|r t M ≤（M 是某个正实数），000000()|()|0r t dt r t dt Mdt +++---≤==⎰⎰⎰ ， 对系统方程两边从0-到0+积分000000() 2()3()r t dt r t dt t dt δ+++---'+=⎰⎰⎰ [](0)(0)03r r +--+=(0)3r +=于是，我们可以写出0t > 时的系统微分方程和初始条件：()2()0r t r t '+=，(0)3r +=这是一个齐次方程。

至此，求解冲激响应的问题就转化为当0t >时求解齐次方程的问题。

解此方程，得到：2()t r t Ae-=（0t >） ，代入初始条件得到3A = ，因此，该系统的冲激响应为 2()3()t h t e u t -=()h t 中乘上()u t 是为了含摄0t >的条件。

方法二：冲激函数系数匹配法（参见教材2.6节例2-9）观察系统方程 ()2()3()r t r t t δ'+=可以知道，()r t 中不含冲激函数()t δ，于是()r t 中只含有系统固有的特征运动模式2t e - （特征方程为20λ+= ，特征根为2λ=- ），因此 2()()t r t Ae u t -=（特征模式2t e -乘上()u t 是为了含摄0t >的条件） ，222()2()()2()()t t t r t Ae u t Ae t Ae u t A t δδ---'=-+=-+将()r t 和()r t '代入系统方程，222()()2()3()t t Ae u t A t Ae u t t δδ---++=注意上面的式子中，特征模式2t e -的系数自动平衡，这是由特征方程20λ+=所保证的。

比较()t δ 的系数，可以得到3A = ，故2()3()t r t e u t -=或者写作2()3()t h t eu t -=2-3 如图2-3所示电路，激励信号为)(t e ，求当)()(t t e δ=和)()(t u t e =时的响应信号)(t v L 。

图2-3 【解】()()L di t v t L dt = ，1()()t L i t v t dt L -∞=⎰ ， 根据基尔霍夫电压定律，列出方程()()()L R v t v t e t +=()()()t L L R v t v t dt e t L -∞+=⎰ 两边对t 求导，得到()()()L L dv t R de t v t dt L dt+= 当()()e t t δ= 时，系统方程变为()()()L L dv t R d t v t dt L dtδ+= 根据冲激函数平衡法（参见教材2.6节例2-9），可以知道()L v t 中含有()t δ，再加上系统固有的特征运动模式R t L e - ，于是系统的冲激响应具有如下形式()()()R t L L v t A t Be u t δ-=+()()()()()()()R R Rt t t L L L L dv t d t BR d t BR A e u t Be t A e u t B t dt dt L dt Lδδδδ---=-+=-+， 将()L v t 和()L dv t dt 代入系统方程，比较()d t dtδ和()t δ的系数，得到1A = ，R B L =- ，故 ()()()Rt L L R v t t e u t Lδ-=- 或者写作()()()Rt L R h t t e u t Lδ-=- 类似地，当()()e t u t =时，可以求得系统的阶跃响应()()R t L g t eu t -= 可以验证冲激响应是阶跃响应的导数()()dg t h t dt=2-4 一个系统的冲激响应为)()()(t u e t t h t-+=δ，激励信号为)()(t tu t e =，试求系统的零状态响应)()()(t h t e t r zs *=。

【解】：这是一个求卷积的问题，首先注意到()()()f t t f t δ*=对于任意函数()f t 均成立（参见教材第77页（2-71）式），于是[][][]()()000()()()()*()()()*()()*()()()()()()()()()(1)()(21)()zs t t t t t t t tt t r t e t h t tu t t e u t tu t t tu t e u t tu t u e u t d tu t e d u t tu t e e d u t tu t e e u t t e u t ττττδδτττττττττ--∞---∞-----=*⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=-+⎰⎰⎰其中第4个等式中的积分的上下限由()()u u t ττ- 给出，只有当0t τ<< 时，被积函数才不为零，因此积分下限为0，积分上限为t ，而且t>0，故整个积分的外面要乘上u(t)。

2-5试求图2-5所示两信号的卷积，并画出波形。

图2-53-1设()()ωF t f ↔，试用()ωF 表示下列各信号的频谱。

（1）()[]t t f m 0cos 1ω+；（2）()()t f t 2+； （3）()dtt df et j 0ω-； （4）()()3-*t f t f ； 【解】：（1）运用公式000cos()[()()]w t w w w w πδδ↔++-，00()*()()f t t t f t t δ-=-（参见（2-72）式），以及频域卷积定理得到 000[1()]cos()cos()()cos()mf t w t w t mf t w t +=+0000[()()][()()]2m w w w w F w w F w w πδδ↔++-+++-（2）根据频域微分定理：()()dF w jtf t dw -↔，得到 )(2)()(2)()()2(w F w F j t f t tf t f t +'↔+=+（3）根据时域微分定理)()(w jwF dtt df ↔，以及频移性质，得到 )()()(000w w F w w j dtt df e t jw ++↔- （4）根据时移性质w j e w F t f 3)()3(-↔-，以及时域卷积定理，得到：w j w j e w F e w F w F t f t f 323)()().()3(*)(--=↔-3-2先求如下图(a)所示信号()t f 的频谱()ωF 的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由()ωF 求出其余信号（b ）（c ）（d ）的频谱的具体表达式。

【解】：（a ）()(1)[()(1)]f t t u t u t =---，对f(t)求一阶和二阶导数得到[()(1)][()(1)][()(1)][]()(1()()(1)()(1)())u t u t t u t u t u t u t t u d d f t dt dtt u t t t t t t δδδδδ'=-------=---=----+-其中()0t t δ= ，(1)(1)t t t δδ-=-)1()()()(++-'=''t t t t f δδδ()1jw f t jw e -''↔-+ 根据时域微分定理)()(w jwF dtt df ↔，可知 1()jwjw e f t jw--+'↔ 21()()jwjw e f t jw --+↔ 21()(1)jw F w jw e w-=-- （b ）由于)1()(1-=t f t f故 jw jw jw e e jw we w F w F -----==)1(1)()(21 （c ）)1()()(12+-=-=tf t f t fjw jw e e jw ww F w F )1(1)()(212-+=-= (d)根据尺度变换和时移性质231()[(2)]2(2)2j w f t f t F w e -=--↔- 2232()(12)2j w j w e F w j w e w-=+-3-3 如图3-3所示余弦脉冲信号为⎪⎩⎪⎨⎧><+=1, 0 1 ),cos 1(5.0)(t t t t f π，试利用线性和频域卷积性质求)(t f 频谱。