数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公
式.
解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴9123
a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵255a S = ∴211)4(2
455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5
353)1(53=⨯-+=】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n
n 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-
,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a
11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-L
].)1(2[323])2(1[2)1(2)]
2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n Λ
经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n
n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例3. 已知数列{}n a 满足211=
a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：1
11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-
=- 211=a Θ， n n a n 1231121-=-+=∴ 类型2
（1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例4. 已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

解：由条件知1
1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n
n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a Θ， n
a n 32=∴ 注：由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项还可以如下求得：
所以1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，•••，12)1(a f a =依次向前代入，得
1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，
类型3
递推式：()n f pa a n n +=+1
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式 ①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b , 所以321-=+n n a .
②()n f 为一次多项式，即递推公式为s rn pa a n n ++=+1
例6．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩⎨⎧==1
1B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n
备注：本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
③ )(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;
类型4
递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中
p ，q, r 均为常数）
解法：该类型较类型3要复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++ 引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再应用类型3的方法解决。

例7. 已知数列{}n a 中，651=
a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2211+•=•++n n n n a a
令n n n a b •=2，则1321+=
+n n b b ,应用例7解法得：n n b )32(23-= 所以n n n
n n b a )31(2)21(32-==
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(11
2n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st p t s ，再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=
++，求n a 。

解：由n n n a a a 3
13212+=++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 即n n n sta a t s a -+=++12)(⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==+⇒3132st t s ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒311t s 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=131t s 这里不妨选用⎪⎩
⎪⎨⎧-==311t s （当然也可选用⎪⎩⎪⎨⎧=-=131t s ，大家可以试一试），则)(3
1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -⇒+1是以首项为112=-a a ，公比为31-的等比数列,所以11)3
1(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即2101)31()31()31(--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=-n 又11=a Θ，所以1)31(4347---=n n a 。