构造法在数列中的应用——数列通项公式的求法一、形如)(1n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)型数列（累加法）一般地，对于形如)(1n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。

即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥；〖例1〗.（2015江苏理数11）.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

二、形如n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）型数列（累乘法） 一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。

即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥； 〖例2〗．在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n·n a ，求n a 的表达式。

〖练1〗.在数列{an}中，a1=1，（n+2）•an+1=（n+1）•an ，则an=〖练2〗.数列{}n a 中，211=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .三、形如1n n a pa q +=+型数列构造的思路有两种： （1）是待定系数法构造，设1()n n a m p a m ++=+，展开整理1n n a pa pm m+=+-，比较系数有pm m b -=，所以1b m p =-，所以1nb a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11ba p +-。

（2）是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+，1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。

〖例3〗、已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.〖例4〗、在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。

四、形如 C Bn Aa a n n ++=+1型数列， 一般地，对于型如CBn Aa a n n ++=+1型数列可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。

〖例5〗、设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。

五、形如 B Aa a n n +=+1nC ⋅（A 、B 、C 为常数，）型数列一般地，对于型如B Aa a n n +=+1nC ⋅（A 、B 、C 为常数，）型数列，可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求n a ，当A=C 时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以C n +1,重新构造数列，来求n a 。

〖例6〗设0a 为常数，且1123---=n n n a a （*N n ∈），证明：对任意n≥1，02)1(]2)1(3[51a a n n n nn ⋅⋅-+⋅-+=〖练习〗已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .六、形如 11n n n a a ka b--=+或n n n n a a a a -=⋅--11型数列一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

〖例7〗.已知数列{}n a 满足：1111,31n n n a a a a --==+，求{}n a 的通项公式。

〖练1〗在数列{}n a 中，1a =12，1n a +=33n n a a +（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.〖练2〗 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n≥2);a 1=21,求通项a n .〖练3〗 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n≥2)，求S n 与a n 。

八、形如rn n pa a =+1)0,0(>>n a p 型数列这种类型我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用构造新数列（待定系数法）求解。

〖例8〗若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁〖练习〗：已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a 。

九、形如n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）型数列。

对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，有βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根， 当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

〖例9〗: 数列{}n a 满足),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求na十、形如)0(a 1≠+++=+D Ca DCa BAa n n n n 型数列一般我们用分离常数法〖例10〗、已知数列}a {n 满足2a 3a 22a 7a 1n n 1n =+-=+，，求数列}a {n 的通项公式。

十一、配凑构造法〖例11〗 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .教师用书一、形如)(1n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)型数列（累加法） 〖例1〗.（2015江苏理数11）.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

二、形如n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）型数列（累乘法） 〖例2〗．在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n·n a 得11+=+n na a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a=n n n 11433221=-⋅⋅ 所以n a n 1= 〖练1〗.在数列{an}中，a1=1，（n+2）•an+1=（n+1）•an ，则an=〖练2〗.数列{}n a 中，211=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .解：1221221)1()1()1(----=-⇒--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a111+-=⇒-n n a a n n ， ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅=--- )1(12131211+=⨯-⋅+-=n n n n n n∴)2)(1(11++=+n n a n三、形如1n n a pa q +=+型数列〖例3〗、已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.解:利用1()2()n n a x a x -+=+,求得112(1)n n a a -+=+,∴{}1na +是首项为112a +=,公比为2的等比数列,即12n n a +=,21n n a ∴=-〖例4〗、在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。

解:由已知递推式，得1132,32,(2)n n n n a a a a n +-=+=+≥，上述两式相减，得113()n n n n a a a a +--=-，因此，数列1{}n n a a +-是以214a a -=为首项，以3为公比的等比数列。

所以1143n n n a a -+-=⋅，即13243n n n a a -+-=⋅，所以1231n n a -=⋅-。

四、形如 C Bn Aa a n n ++=+1型数列，〖例5〗、设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。

解：设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++1322n n a a An B A +∴=++-与原式比较系数得：221211A AB A B ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++ 令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3 {}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列133331n n n nn b a n -∴=⋅==--即:五、形如 B Aa a n n +=+1nC ⋅（A 、B 、C 为常数，）型数列 〖例6〗设0a 为常数，且1123---=n n n a a （*N n ∈），证明：对任意n≥1，02)1(]2)1(3[51a a n n n nn ⋅⋅-+⋅-+=证明：设)3(2311--⋅--=⋅-n n nn t a t a 用1123---=n n n a a 代入可得51=t ∴{}53nn a -是公比为2-，首项为531-a 的等比数列，∴ 10)2()5321(53--⋅--=-n n n a a （*N n ∈），即：012)1(52)1(3a a n n nn n n ⋅⋅-+⋅-+=-〖练习〗已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .解:将已知递推式两边同除以12n +得1131222n n n n a a ++=⨯+,设2nn na b =,故有132(2)2n n b b ++=⨯+，15322n n nb -⨯=-,从而11532n n n a -+=⨯-. 六、形如 11n n n a a ka b--=+或n n n n a a a a -=⋅--11型数列〖例7〗.已知数列{}n a 满足：1111,31n n n a a a a --==+，求{}n a 的通项公式。