（2）应变场的表达 根据几何方程得到应变场表达式：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ∂ ∂y ⎢ y ⎥ ⎢0 u ( x , y , z ) ⎡ ⎤ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ ⎥ = ⎢ v ( x , y , z ) ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢∂ ∂y ∂ ∂x ⎢ w( x, y, z ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ∂ ∂z ∂ ∂y γ yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎣∂ ∂z 0 x ∂ ∂ ⎦ ⎣ zx ⎦ e = B ( x, y , z ) ⋅ δ
第六章
等参数单元的一般原理 和数值积分
由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状 不太规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复 杂的边界上，有时只能采用不规整单元；但是直 接研究这些不规整单元则比较困难，如何利用规 整单元（如三角形单元、矩形单元、正六面体单 元）的原理来研究（推导）所对应的不规整单元 的表达式？这将涉及到几何形状映射、等参变换 （坐标系变换）等问题。
其中
1 N i = (1 + ξiξ )(1 + ηiη )(1 + ζ iζ ) 8 i = 1, 2,3, 4
位移模式的矩阵形式：
⎡u(x, y) ⎤ ⎡N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 0 0 ⎤ ⎢v(x, y) ⎥ = ⎢ 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 ⎥ ⋅δ e 1 2 3 4 5 6 7 8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣w(x, y)⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 ⎥ ⎦ = N(ξ,η) ⋅δ e
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ∂N i ⎥ B=⎢0 ⎥ y ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂N i ∂N i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂y ∂x ⎦
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一 般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
⎧ ∂N i ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎢ ∂η ⎪ ⎪ η ∂ ⎩ ⎭ ⎣
−1 −1 1 1
如何构造这个多项式，使其对原函数有最好的逼近？
（2）Newton-Cotes数值积分 将多项式 ϕ (ξ ) 改成lagrange插值多项式
ϕ (ξ ) = a0 + a1ξ + a2ξ 2 + " + an −1ξ n −1 = ∑ li( n −1) (ξ ) f (ξi )
e 1 −1 −1 −1
∫ ∫
1Байду номын сангаас
1
Bi ⋅ D ⋅ B j ⋅ J d ξ dη d ζ
T
∂x ∂ξ ∂x J = ∂η ∂x ∂ζ
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ
∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ
6.3 数值积分
由于形函数对整体坐标x 和y 的导数中包含雅 可比矩阵的逆矩阵，刚度矩阵的积分一般情 况下不能得到显式。因此要采用数值积分来 求得等参数单元的刚度矩阵。 一个函数的定积分，可以通过n个点的函数值 和他们的加权组合来计算：
（2）应变场的表达 根据几何方程得到应变场表达式：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ u ( x, y ) ⎤ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ε y ⎥ = ⎢ 0 ∂ ∂y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎢∂ ∂x ∂ ∂y ⎥ ⎣v( x, y ) ⎦ ⎦ ⎣ xy ⎦ ⎣ ⎡∂ ∂x 0 ⎤ ⎡ N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 ⎤ e ⎢ ⎥ = ⎢ 0 ∂ ∂y ⎥ ⎢ ⋅δ ⎥ 0 N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 ⎦ ⎣ ⎢ ⎣∂ ∂x ∂ ∂y ⎥ ⎦ = B ( x, y ) ⋅ δ e
∫
1
Bi ⋅ D ⋅ B j ⋅ J ⋅ td ξ dη (i, j = 1, 2,3, 4)
T
6.2 空间等参单元 8节点等参单元
（1）坐标映射及位移场模式
同平面问题任意四边形等参元一样，以8节点边长为2的正方 体作等参元基本单元，其坐标变换式和位移函数为：
8 ⎧ ⎪ x(ξ ,η ) = ∑ N i xi = N1 x1 + N 2 x2 + " + N8 x8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎨ y (ξ ,η ) = ∑ N i yi = N1 y1 + N 2 y2 + " + N8 y8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ z (ξ ,η ) = ∑ N i zi = N1 z1 + N 2 z2 + " + N8 z8 i =1 ⎩
根据前面四节点矩形单元的单元位移模式表达 式，它们完全相似，因此可写出其位移场模式：
u ( x, y ) = N1 (ξ ,η ) ⋅ u1 + N 2 (ξ ,η ) ⋅ u2 + N 3 (ξ ,η ) ⋅ u3 + N 4 (ξ ,η ) ⋅ u4 ⎪ ⎫ ⎬ v ( x, y ) = N1 (ξ ,η ) ⋅ v1 + N 2 (ξ ,η ) ⋅ v2 + N 3 (ξ ,η ) ⋅ v3 + N 4 (ξ ,η ) ⋅ v4 ⎪ ⎭
设如图所示的两个坐标系的坐标映射关系为：
x = x(ξ ,η ) ⎫ ⎬ y = y (ξ ,η ) ⎭
下面针对图中的四节点四边形的坐标映射，给 出映射关系的具体表达式。 由基准坐标系（ξ,η）中的一点可以求出物理 坐标系（x,y）中的一个对应点，如将图中所示 基准坐标系（ξ,η）中的矩形映射为物理坐标 系（x,y）中的任意四边形，则有节点映射条 件：
由本构关系可以得到应力场的表达式：
⎧σ x ⎫ ⎪σ ⎪ ⎪ y⎪ ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ σ = ⎨ ⎬ = Dε = DBδ e = S ⋅ δ e ⎪τ yz ⎪ ⎪τ ⎪ ⎪ xz ⎪ ⎪ ⎩τ xy ⎪ ⎭
S为应力矩阵
（4）刚度矩阵 根据势能表达式得到刚度矩阵：
K e = ∫∫∫ BT ⋅ D ⋅ Bdxdydz K =∫
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎢ ∂x ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N i ⎢ ∂z ⎢ ∂N ⎢ i ⎢ ⎣ ∂y
0 ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂z 0 ∂N i ∂x
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂z ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂x ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦
xi = xi (ξi ,ηi ) ⎫ ⎬ i = 1, 2,3, 4 yi = yi (ξi ,ηi ) ⎭
这表明x方向和y方向各有四个节点条件，如果 我们用多项式来写出映射函数，则x方向和y方 向上可以写出各包含有四个待定系数的多项式
x = a0 + a1ξ + a2η + a3ξη ⎫ ⎬ y = b0 + b1ξ + b2η + b3ξη ⎭
∫ f (ξ )dξ ≈ ∑ A f (ξ )
1 −1 k =1 k k
n
（1）基本思想
I = ∫ f (ξ )d ξ
−1 1
构造一个多项式 ϕ (ξi ) ，使得在n个点上与 f (ξ ) 相同，即
ϕ (ξi ) = f (ξi ) (i = 1, 2,3," n)
I = ∫ f (ξ )d ξ ≈ ∫ ϕ (ξ )d ξ
1
（3）Gauss积分 如果我们调整n个插值点的位置，使得 ϕ (ξ ) 具有(2n-1)次多项式，并对 f (ξ ) 进行逼 近，则可以大大提高积分精度。
ϕ (ξ ) = ∑ li( n −1) (ξ ) f (ξi ) + ∑ β iξ i P(ξ )
（3）应力场的表达
由本构关系可以得到应力场的表达式：
⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ σ = ⎨σ y ⎬ = Dε = DBδ e = S ⋅ δ e ⎪ ⎪ ⎩τ xy ⎭
S为应力矩阵
（4）刚度矩阵 根据势能表达式得到刚度矩阵：
K e = ∫∫ BT ⋅ D ⋅ B ⋅ tdxdy
A
K =∫
e
1
−1 −1
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一 般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
⎧∂N i ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ∂η ⎪ ⎢ ∂η ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ ∂ζ ⎭ ⎣ ∂ζ
∂y ∂z ⎤ ⎧ ∂N i ⎫ ⎧ ∂N i ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ ∂ξ ⎥ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ∂y ∂z ⎥ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ⎨ ⎬= J⎨ ⎬ ⎥ ∂η ∂η ⎥ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂y ∂z ⎥ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ∂ζ ∂ζ ⎦ ⎩ ∂z ⎭ ⎩ ∂z ⎭
其中
1 N i = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
i = 1, 2,3, 4
如果将物理坐标系（x,y）中的每一个节点位移 写成一个矩阵，有
δ = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 ]
e
T
那么位移模式也可以写成：
⎡u ( x, y ) ⎤ ⎡ N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 ⎤ e ⎢ v ( x, y ) ⎥ = ⎢ 0 N 0 N 0 N 0 N ⎥ ⋅ δ ⎣ ⎦ ⎣ 1 2 3 4⎦ = N (ξ ,η ) ⋅ δ e
8 ⎧ ⎪u ( x, y ) = ∑ N i ui = N1u1 + N 2u2 + " + N8u8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎨v( x, y ) = ∑ N i vi = N1v1 + N 2 v2 + " + N8v8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ w( x, y ) = ∑ N i wi = N1w1 + N 2 w2 + " + N8 w8 i =1 ⎩