向可以使函数值下降，只
x2
有在锐角所包含的范围搜
索才可以达到函数值下降
的目的，故坐标轮换法对 此类函数会失效。
脊线
x1
第二轮迭代，需要
x0(2) x2 (1)
依次类推，不断迭代，目标函数值不断下降，最后逼 近该目标函数的最优点。
终止准则
可以采用点距准则
注意： 若采用点距准则或函数值准则，其中采用的点应该是一轮
迭代的始点和终点，而不是某搜索方向的前后迭代点。
8.1.2坐标轮换法的计算步骤
⑴任选初始点
作为第一轮的起点 ，置n个坐标轴方向矢量为单位 坐标矢量：
已知初 始点 x（1） (1, 2, 3)T ，当 x(n1) x(1) 0.01时停止
迭代．
小结
坐标轮换法程序简单，易于掌握。但是计算效率比 较低，尤其是当优化问题的维数较高时更为严重。一 般把此种方法应用于维数小于10的低维优化问题。
对于目标函数存在
“脊线”的情况，在脊线
的尖点处没有一个坐标方
对于n维优化问题，如果只利用函数值求最优值的解法，称 为直接搜索法；
解析法的收敛速率较高，直接法的可靠性较高。
8.1 坐标轮换法
坐标轮换法属于直接法，既可以用于无约束优化问 题的求解，又可以经过适当处理用于约束优化问题求 解。
坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余 变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方 法。它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量（其 余变量视为常量）的优化问题，因此又称这种方法为 变量轮换法。此种方法只需目标函数的数值信息而不 需要目标函数的导数。
第8章 无约束问题最优化方法
➢无约束优化理论研究开展得较早，构成的优化方法巳很多 ，也比较成熟，新的方法仍在陆续出现。本章的内容与目的 是讨论几个常用无约束优化方法的基本思想、方法构成、迭 代步骤以及终止准则等方面问题。
➢无约束优化方法总体分成两大类型:解析法或称间接法、 直接搜索法或简称直接法；
在n维无约束优化方法的算法中，用函数的一阶、二价导数进行求解的算法， 称为解析法;
一、坐标轮换法的迭代过程
如 图 ， 以 二 次 函 数 为 例 。
标长轴任1(的取1) ，方一得向初第e始1一作点轮一x(的维0)作第搜为一索第个，一迭用轮代一的点维始优点化x方0 (1法),先确沿定第最一优坐步 x1(1) =x0(1) + 1(1) e1，
搜然索后，以确定x1步(1)为长新2起(1) ，点得，第沿一第轮二的坐第标二轴个的迭方代向点e2作一维 x2(1) =x1(1) + 1(1) e2
入口
给定 x(0),ε
k←1 i←1
x(k) i
x(0)
沿ei方向一维搜索αi
xi(k) xi(k
-
i=n?
+
-
x(k) n
x(k) 0
?
+
x*x
F* F(x*)
k←k+1
x
(0)
x
(k) n
出口
8．1．3 计算举例
例 8-1 用变量轮换法求解 min f (x) 3x12 2x22 x32 ，
⑵按照下面迭代公式进行迭代计算
k为迭代轮数的序号，取k=1，2，……； i为该轮中一维搜索的序号，取i=1，2，……n 步长α一般通过一维优化方法求出其最优步长。 ⑶按下式判断是否中止迭代
最优解
如满足，迭代中止， 并输出最优解
否则，令k←k+1 返回步骤（2）
坐 标 轮 换 法 的 流 程 图
i←i+1