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机械优化设计_第四章无约束优化方法
X
k
T
f
X 0
K
f
x
k 1
f
T
x
k
0
或 d
k 1
T
d
k
0
机械优化设计 由此可知,在最速下降 法中,相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而 搜索方向就是负梯度方向, 因此相邻两个搜索方向互 相垂直。这就是说在迭代 点向函数极小点靠近的过 程,走的是曲折的路线, 形成“之”字形的锯齿现 最速下降法的搜索路径 象,而且越接近极小点锯 齿越细。
机械优化设计 最 速 下 降 法 的 程 序 框 图
机械优化设计 例:求目标函数 f X x 解法1:取初始点
f
2 1
T
25 x2
2
的极小点
X
0
2, 2
,则初始点处的函数值
X
2 0 2 4 2 4 0 1 0 0 2 1 0 0 0
4)不仅要计算梯度,还要求海赛矩阵及其逆矩阵,计 算量和存储量大。此外对于二阶不可微函数也不适用。 虽然阻尼牛顿法有上述缺点,但在特定条件下它具有收 敛最快的优点,可为其他算法提供思路和理论依据。
不同等值线的迭代过程
机械优化设计
讨论
f
x1 , x 2
x1 2 5 x 2
2 2
1 2
x1
2 x2 0
0 50
x1 x2
y1 , y 2
y1 y 2
2 2
1 2
y1
2 y2 0
0 2
1 0
y1 y 2
2
2
Y
0
104
Y
0
2 y1 4 20 2 y2 Y 0
2 4 2 4 0 Y Y 0 Y 0 10 20 10 20 0
机械优化设计 (2)阻尼牛顿法的计算步骤
1)给定初始点 X 0,收敛精度 ,置 k 0 2)计算
d
f
k
X 、
k
2
f
k
X 、
k
2
f
X
k
1
f
2
X
1
f
X
k
3)求 X
k 1
X
k
kd
X
k
4)检查收敛精度。若
X
k 1
f
X ,使函
X
k
kf
X
k
( k 0,1, 2 )
机械优化设计 2、最速下降法的原理
(1)使 d
f
X ,按此规律不断走步,形成迭代算法:
k
X
k 1
X
kf
X
k
( k 0,1, 2 )
k f x akf
k
T
f
2
x
k
x x
k
设 X k 1 为 X 的极小点,它作为 f X 极小点 X 的下一个近似点,根据极值必要条件:
X
k 1
0 即 f X
k
2
2
f
X X
k
k 1
X
k
0
X
k 1
X
k
k
f
1)有些实际问题,其数学模型本身就是一个无约束问题;
2)通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的 基础;
3)约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来 达到。
所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本 组成部分,也是优化方法的基础。
机械优化设计
一、概述
1、无约束优化问题 T , xn 求 n 维设计变量 X x1 , x使目标函数 2 f X m in ,而对 X 没有任何限制条件。 2、求解方法 (1)利用极值条件来确定极值点的位置。 (2)数值计算方法——搜索方法 基本思想:从给定的初始点 x 0 出发,沿某一搜索方向 0 0 d 进行搜索,确定最佳步长 0 使函数值沿 d 下降
f
X
1
3 .6 8 6 1 6 4
经过10次迭代后,得到最优解:
X
0, 0
T
f
X
0
该问题的目标函数的等值线为一族椭圆,迭代 点走的是一段锯齿形路线。
机械优化设计 解法2:引入变化
y 1 x1 y2 5 x2
,则目标函数 f x , x 变为
1 2
y1 , y 2
k 1
X
k
,则 X X k 1 ,停机;
否则置 k k 1 返回到2),继续进行搜索。
机械优化设计 (3)阻尼牛顿法的 程序框图
机械优化设计 方法特点:
1)初始点应选在极小点附近,有一定难度;
2)尽管每次迭代都不会是函数上升,但不能保证每次 都下降;
3)若迭代点的海赛矩阵为奇异,则无法求逆矩阵,不 能构造牛顿法方向;
函数梯度为局部性质,因此并非“最快”。
机械优化设计
梯度法的迭代历程
机械优化设计
方法特点
1)初始点可任选,每次迭代计算量小,存储量少, 程序简短。即使从一个不好的初始点出发,开始 的几步迭代,目标函数值下降很快,然后慢慢逼 近局部极小点;
2)任意相邻两点的搜索方向是正交的,它的迭代 路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时, 步长变得很小,越走越慢。
最大。依此方式不断进行,形成迭代的下降算法:
X
k 1
X
k
kd
k
( k 0,1, 2 )
机械优化设计 3、算法框图
机械优化设计 4、无约束优化方法的分类 搜索方向的构成问题是无约束优化方法的关键。 k 根据确定其搜索方向 d 方法不同,可分为:
(1)只利用目标函数值的无约束优化方法(或称直接法, 即不使用导数信息),如:坐标轮换法、单形替换法及鲍威 (Powell)法。 直接法不必求函数导数,只计算目标函数值。适用于求 解变量个数较少(小于20)的问题,一般情况下效率较低。
y1 y2
可以看出二者的对角形矩阵不同,前者的 等值线为一族椭圆,后者的等值线为一族同 心圆,这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵 或者是表示尺度的矩阵,最速下降法的收敛 速度和变量的尺度有很大关系。
机械优化设计 3、最速下降法收敛速度的估计式
X
M
k 1
X
2 m 1 X 2 M
0
0
26 52
0 .5
2 4 0 0 Y 0 1 0 2 0, 0 0
1
Y1 0
经过坐标(尺度)变化后,只需要经过一次迭代,就可找到 最优解:
X
0, 0
T
f
X 0
机械优化设计
2
的极小值
解:取初始点
f
X
0
2, 2
T
,则
f
2
X
0
2 x1 4 50 x2 X 0 100
X
0
2 0
0 50
f
2
X
0
0
1
1 2 0
1 50 0
''
'
( k 0 ,1, 2 , )
机械优化设计 1、牛顿法
对于多元函数 f X ,设 X k 为 f X 极小点 X 的第一 个近似点, f X 泰勒展开,保留到二次项,得:
f
x x
f
x
k
f
x
k
T
x x
k
1 2
x x
机械优化设计
第四章
无约束优化方法
一、概述 二、最速下降法(梯度法) 三、牛顿型方法(牛顿法和阻尼牛顿法) 四、共轭方向和共轭方向法 五、共轭梯度法 六、变尺度法 七、坐标轮换法
机械优化设计 实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追 求某一指标为最小,属于约束优化问题。 为什么要研究无约束优化问题?
及梯度分别为:
X 104
0
f
X
0
2 x1 4 5 0 x 2 1 0 0
X
1
X
0
0 f
0
0 为一维搜索最佳步长,应满足极值必要条件
f X
1
m in
0 f X f X
0
m in (2 4 )
0
代入牛顿法迭代公式可得:
1 2 2 2 0 1 50 0
X
1
X
2 f
X
1
f
X
0
4 0 1 0 0 0
从而经过一次迭代即求得极小点和函数极小值。
机械优化设计
(2)利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化方法 (或称间接法)如:最速下降法(梯度法)、共轭梯度法、 牛顿法及变尺度法; 间接法除了要计算目标函数值外,还要计算目标函数的 梯度,有的还要计算其海赛矩阵;
机械优化设计
二、最速下降法(梯度法)