] ，RB [221] ，GY [ 221] ，GB [ 2 2 1] ； 平行于+Z 方向：RY [ 221
平行于-Z 方向：RY [221] ，RB [22 1] ，GY [ 22 1] ，GB [ 2 2 1] ； （3）8 个角块 RYW [ 222] ，GYW [ 2 22] ，RBW [2 2 2] ，RYS [222 ] ； RBS [222] ，GYS [ 222] ，GBW [ 222] ，GBS [ 2 2 2] ； 四阶魔方角块的方向指数为 <222> ，与三阶魔方的 <111> 只差一个公约数，因此， <222>与 <111> 是完全等价的，只能演绎出 8 种情况。 <222> 和 <111> 描述的对称性也是 完全一样的。边块的方向指数为 <221> ，不同于三阶魔方的 <110> ， <221> 能演绎出 24 种情况， <110> 只能演绎出 12 种情况。因此，四阶魔方边块的对称性和三阶魔方的不 同。换句话说，三阶魔方的边块有 12 个块位，而四阶魔方的边块有 24 个块位。四阶 魔方的面块的方向指数为 <211>，不同于三阶魔方的心块 <100>，前者可演绎出 24 种情 况，后者只能演绎出 6 种情况。由于四阶魔方和三阶魔方的力学结构的差别，四阶魔 方的面块可以运动，而三阶魔方的心块却不能运动。 8.1.2 五阶魔方 五阶魔方三个方向有 25 层，但是，每个方向只有 4 个可转动层，共有 98 个小块， 可转动出 2.8 10 种花样。
W 面（+Z） ：W [112] ，W [1 12] ，W [1 1 2] ，W [1 1 2] ； G 面（-X） ：G [ 211] ，G [ 2 1 1] ，G [ 21 1] ，G [ 2 1 1] ； B 面（-Y） ：B [121] ，B [1 21] ，B [12 1] ，B [1 2 1] ； S 面（-Z） ：S [112] ，S [1 12] ，S [1 1 2] ，S [ 1 1 2] ； （3）24 个第二类面块
（ a） 图 3.17
（ b）
（ c）
转动对称性
我们这里讨论的对称性， 是魔方的整 体旋转对称性。如图 3.17 所示的图 形，它们都是平行于纸面的平面图， 其转轴位于 O 点并垂直纸面。图 (a) 可以绕转轴转动 90° 180° 270°、 360°，而不改变图形的轮廓坐标。 同样，图 (b)可绕转轴转动 180°、 360°，图(c)可绕转轴转动 120°、 240°、360°。这种绕转轴转动一定
个边块。 26 个方向指数一一对应于 魔方的 26 个小块，这就定义了这个 魔方是 3 3 3 的。对于四阶和五阶
魔方， 方向指数的概念仍然适用， 而 且同样一一对应地描述了魔方的所 有小块。 8.1.1 四阶魔方 四阶魔方有 16 个可转动层，共有 56
45 7 . 4 10 个小块，可转动出 种花样。
图 3.16
魔方的方向指数
如果图 3.16 中的魔方是一个标准魔 方， 则可以给出魔方各小块的特征名 称和方向指数， 而且小块的特征名称 和方向指数一一对应。 （1）心块的特征名称和方向指数 R [100] ， Y [010] ， W [001] ， G [1 00] ， B [0 1 0] ， S [001] 。 （2）角块的特征名称和方向指数 RYW GYS
[100] 、 [010] 、 [001] 是魔方的四次转
[101 ]、 [110] 、 [011] 、 [0 1 1] 、 [ 1 01] 、 动轴，
[1 10] 是魔方的二次转动轴， [111] 、
[11 1 ] 、[ 1 11] 、[1 1 1] 是魔方的三次转动
轴。 如图 3.18 所示， 四次轴用 表示， 二次轴用 表示，三次轴用 表示。
4
构成一个循环。 还可以举出更多的例 子。 可以肯定地讲， 循环和周期是分不开 的。 魔方转动的循环特点， 反映了魔 方转动周期性的特点。 魔方转动的周 期性是与魔方的对称性有本质的联 系。 正是魔方的对称性导致魔方转动 的周期性。如，4 转循环 W4 中，循环 周期为 4；210 转循环 (WR) =I 中， 循环周期为 105。 本章所定义的转动魔方的右手规则 和左手规则，暗示操作魔方时需要用 左手和右手。扭转是手生来就能乐于 做的一种基本的运动，并且能赋予头
魔方和数学建模 3
魔方和晶体学符号
魔方具有晶体的本质特征—对称性 和周期性， 因此， 晶体学的空间符号 可以描述魔方。 3.3.1 晶向指数 在晶体学中， 线和面的方向一般使用 三个数表示， 被称为晶向指数。 简单 而言， 晶向指数可以用一个矢量在坐 标轴上的三个分量来表示。如图 3.15，立方体的边长等于 2 个单位， 图中 A、 B、 C 点和 O 点构成的矢量为： ， ， (3-1)
晶体学把具有相同对称性的晶向指 数称为晶向族， 并且用 <>表示。 对于 魔方，小块的类型就是对称性的标 志， 因此， 小块的名称便自然地定义 了方向族的概念。例如，心块的 6 个方向指数构成一族， 表示为 <001>； 角块的 8 个方向指数构成一族， 表示 为<111>； 边块的 12 个方向指数构成 一族，表示为 <110>。 魔方方向指数巧妙地描述了小块在 魔方中所处的空间位置。 魔方方向指 数在描述魔方的对称性时也是非常 有用的。 3.3.3 魔方的对称性
（1）24 个面块 R 面（+X） ：R [211] ，R [211] ，R [2 1 1] ，R [2 1 1] ；
] ，Y [12 1 ] ，Y [ 1 21] ，Y [1 2 1] ； Y 面（+Y） ：Y [121
W 面（+Z） ：W [112] ，W [1 12] ，W [1 1 2] ，W [1 1 2] ； G 面（-X） ：G [ 211] ，G [ 2 1 1] ，G [ 21 1] ，G [ 2 1 1] ； B 面（-Y） ：B [121] ，B [1 21] ，B [12 1] ，B [1 2 1] ； S 面（-Z） ：S [112] ，S [1 12] ，S [1 1 2] ，S [ 1 1 2] ； （2）24 个边块 平行于+X 方向：YW [122] ，BW [122] ，YS [122] ，BS [12 2 ] ； 平行于-X 方向：YW [1 22] ，BW [1 22] ，YS [1 22] ，BS [1 2 2] ； 平行于+Y 方向：RW [ 212] ，GW [ 2 12] ，RS [212] ，GS [ 212] ； 平行于-Y 方向：RW [2 1 2] ，GW [ 2 1 2] ，RS [2 1 2] ，GS [ 2 1 2] ；
式中 i、j、k 分别为沿 X、Y、Z 轴的 单位矢量。将式(3-1)用矢量的投影 分量来表示，就是
OA 100，OB 110 ，OC 111
(3-2)
图 3.15
晶体学方向的表示
晶体学中把用式 (3-2)所表示的方向 称为晶向， 并把括弧中的数字称为晶 向指数。
3.3.2 魔方的方向指数 借助晶向指数概念来描述魔方， 既简 洁又方便。 前面曾定义过角块、 边块 和心块的特征点。 过魔方中心到特征 点的向量就是魔方小块的特征向量， 特征向量在坐标轴的三个分量就是 该小块的方向指数， 称为魔方的方向 指数。如图 3.16 所示，在魔方的各 特征点都标出了该小块的方向指数。
图 8.2 五阶魔方及其方向指数
（1）6 个心块 R [ 200] ，Y [020] ，W [002] ，G [ 2 00] ，B [0 2 0] ，S [002 ] （2）24 个第一类面块 R 面（+X） ：R [ 211 ] ，R [211] ，R [2 1 1] ，R [2 1 1] ；
] ，Y [12 1 ] ，Y [ 1 21] ，Y [1 2 1] ； Y 面（+Y） ：Y [121
[111 ]
[1 1 1]
， RYS ， GBW
[11 1 ]
[1 1 1]
， GYW ， GBS
[ 1 11]
[1 1 1]
， ，
RBW [1 1 1] ，RBS [1 1 1] 。 （3）边块的特征名称和方向指数 RW [101] ，GB [1 1 0] ，YW [011] ，RB [1 1 0] ， GW [ 1 01] ，RS [10 1]，BW [0 1 1] ，YS [011] ， RY [110] ，GS [1 0 1] ，GY [1 10] ，BS [0 1 1] 。
角度后和原来完全重复 ( 轮廓坐标 ) 的性质称为转动对称性。 我们把这种 转动称为对称操作。 图(a)、 图(b)、 图 (c) 的 最 小 转 角 分 别 为 90 ° 、 180°、120°。由于 360°/90°=4， 360°/180°=2，360°/120°=3，因 此，我们称图 (a)具有四次对称性， 图(b)具有二次对称性， 图 (c)具有三 次对称性。 魔方的整体对称性与小块 的色面特征有一种巧妙的对应关系。 首先，魔方具有整体转动对称性。
105
脑一种真正的三维的锻炼。 §8.1 魔方的阶和方向指数 对于三阶魔方（见第三章） ，魔方的 方向指数可以唯一地描述魔方所有 小 块 的 空 间 方 位 。 [100] ， [010] ，
[001] ， [1 00] ， [0 1 0] ， [001] 定义了
[111 ]， [ 1 11] ， [11 1 ] ， [1 1 1] ， 6 个心块；
[1 1 1] ， [1 1 1] ， [1 1 1] ， [1 1 1] 定义了
]， ] ， [1 1 0] ， [011 8 个角块； [101
[1 1 0] ，[ 1 01] ，[10 1 ] ，[0 1 1] ，[011] ，