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动力学基本定律
• 质点的动量定理 当作用时间为t1→t2 , 合外力的冲量为
同济大学物理系 倪忠强
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动力学基本定律
什么因素影响质点运动状态的改变？
• 亚里士多德的观点 ——力是维持物体运动的原因。
• 伽利略的思想实验证实 —— 维持运动状态无需力 与物体本身性质有关 与物体相互作用有关
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动力学基本定律
§2-1 牛顿定律
2-1-1 牛顿定律 1686 年 , 牛顿在他的《自然 哲学的数学原理》一书中发 表了牛顿运动三定律.
引力 重力
把地球近似为质量均匀分布的球体, 则地面上一个质量 为m的物体与地球间万有引力大小为 Mm F =G 2 R GM 由牛顿第二定律, 重力为 W=mg QW = F ∴ g = 2 (1) g的数值与物体本身的质量无关. (2) g的数值随着离开地面高度增加而减小.
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R
• 弹性力 物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力称为弹性力.
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d ( mv ) 提绳过程中, m为变量. F − λyg = dt F − λyg = λya + λv 2
依题意, 绳作匀加速直线运动, 故
m = λy
v = 2ay
2
得 : F = λ y ( 3a + g ) 得: F = λ ( v + yg )
2
y
λyg
(2) v 恒定, a=0, 故
v v 式中 Fdt表示力 F在时间 dt内的累积量 , 称为时间 dt 内质点所受合外力的冲 量, 即
v v v d(mv ) dp F= = dt dt
v v Fdt = dp
v v I = Fdt
(N ⋅ s)
描写了力对时间的积累作用. 运动员在投掷标枪时, 伸直手臂, 尽 可 能 的 延 长 手对 标 枪 的作用 时 间 , 以 提高标枪出手时的速度.
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• 牛顿第一定律(惯性定律) 牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中写道: 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态, 直到受到 力的作用迫使它改变这种状态为止. 数学形式: v v v = 恒矢量 ， F = 0 惯性: 任何物体保持其运动状态不变的性质.
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F − λyg = λv 2
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例题3. 一根匀质绳子, 其单位长度上的质量为λ, 盘绕在一 张光滑的水平桌面上. (3) 以一恒定的力F竖直向上提绳, 当 提起高度为y时, 绳端的速度v为多少? 解: (3) F − λyg = λya + λv 2 将该式变换为v~y函数. F 2
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例题1. 已知: F = 150 N l = 4 m a = 0.2 m ⋅ s -2 m = 2 kg 求: 距顶端为x米处绳中的张力. 解: 对绳用牛顿第二定律
F F
mx g
F − Tx − mx g = mx a (1)
m mx = x l (2)
a
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dv dv d y dv 1 dv a= = =v = d t d y dt d y 2 dy
代入上式, 并两边乘2y, 整理后有
2 d v F 2 2 2 yv + y = 2 y − 2 gy 2 λ dy F 2 2 2 2 2 yv dy + y dv = 2 ydy − 2 gy dy λ F 2 2 3 2 2 y v = y - gy + C 由初始条件, 得 v = λ 3
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常见的弹性力:1.弹簧被拉伸或压缩时产生的弹性力;2.物 体间相互挤压引起的弹性力;3.绳索被拉紧时产生的张力等. 1. 弹簧的弹性力
v F
o
虎克定律: 在弹性限度内,弹性力的大小与弹簧的伸长量 成正比,方向指向平衡位置.
xA
xB
x
r r F = − kx
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2. 物体间相互挤压而引起的弹性力
得 v = 2rg cos ϕ
v 2g cosϕ ⇒ ω= = r r
代入②式得
2
A
r
O
ϕ
B
C
v FN = mg cos ϕ + m = 3mg cos ϕ r
v n
v FN
D
r τ
小球对圆弧的作用力为
′ = − FN = −3mg cos ϕ FN
v ′ FN与 n 方向相反
ϕ v mg
v v
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质量不变时,
r r F = ma
Fx = ma x Fy = ma y Fz = ma z
1. 质点动力学基本方程. v 2. F 是合外力. 3. 加速度与合外力同向. 4. 反映瞬时关系. 5. 适用于惯性参考系. 6. 是矢量式.
dv Fτ = maτ = m dt 2 v Fn = man = m r
m1 g + m1a − T = m1a r
T − m2 g − m2 a = m2 ar
(1)
(2)
v ar
m1
T
T
(m1 − m2 ) ⋅ ( g + a) ar = m1 + m2 2m1m2 T= ( g + a) m1 + m2
m2
m1a m2a m1 g m2 g
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例题3. 一根匀质绳子, 其单位长度上的质量为λ, 盘绕在一 张光滑的水平桌面上. (1) 设t=0时, y=0, v=0. 今以一恒定的 加速度a竖直向上提绳, 当提起高度为y时, 作用在绳端的力 为多少? (2) 以一恒定的速度v竖直向上提绳, 当提起高度为 y时, 作用在绳端的力又是多少? F 解: (1) 建立坐标, 受力分析如图
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11.2 km/s 7.9 km/s
m1m2 F1 = F2 = G 2 r
G = 6.6730 ×10−11 N ⋅m 2 ⋅ kg −2
v F1
m1
rv
F2
m2
宇宙中的一切物体都在相互吸引着. 万有引力是自然界 的基本力之一.
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1.万有引力定律中引入的物体质量称为引力质量. 2.适用于描述质点之间的万有引力. 重力: 是 地球对 物体 万 有 引 力的一 个 分力, 另一分力为物体随地球绕地轴转 动提供的向心力.
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为了在非惯性系中应用牛顿定律, 引入了惯性力． Fi T W 惯性力大小: 惯性力方向:
v a0
运动质点的质量 m 与 非 惯性 系加 速 度 a0 的乘积. 与非惯性系加速度的方向相反.
v v Fi = −ma0
在非惯性系中, 牛顿运动定律表示为:
v v v F + Fi = ma
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说明: • 惯性力没有施力者, 不存在“力是物体之间的相互作用”这 一特性. • 惯性力和真实力有区别的. 注意不要混淆:
F = ma Fi = −ma0
牛顿第二定律的表达式. 惯性力的定义式. 负号表示其方向与 非惯性系的加速度方向相反.
• 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现.
Fmax = µ ′FN
µ ′ 称为静摩擦系数,它与两物体接触面的材料性质、粗糙
程度、干湿情况等因素有关,通常由实验测定. 滑动摩擦力 物体有相对运动, 滑动摩擦力与正压力成正比.
F f = µ FN
μ称为滑动摩擦系数, 通常比静摩擦系数稍小一些, 计算时 一般可不加区别, 近似地认为μ＝μ′.
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v v v F + (−ma0 ) = ma
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非惯性系
电梯的失重和超重
太空舱的失重现象
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例题 4. 升降电梯相对于地面以加速度a沿铅直向上运动.电 梯中有一轻滑轮绕一轻绳,绳两端悬挂质量分别为m1和m2的 重物(m1 > m2 ). 求: (1) 物体相对于电梯的加速度; (2) 绳子 v 的张力. a 解: 设所求加速度为ar , 以电梯为参考系 对两物作受力分析如图
r
O
ϕ
B
C
v n
v FN
D
r τ
dv v 由①式得 − mg sin ϕ = m ⋅ dϕ r
即 vdv = − rg sin ϕ dϕ
ϕ v mg
v v
NIZQ 第律
vdv = − rg sin ϕ dϕ
∫
v
0
vdv =
∫ (− rg sin ϕ )d ϕ
ϕ π − 2
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§2-2 动量守恒定律
2-2-1 动量 同时考虑质量与速度两个因素, 才能全面地表达物体 的运动状态。
v v −1 (kg ⋅ m ⋅ s ) p = mv
危急 中 ,此 位 先 生 为什么 挡住小孩,而不去挡汽车？
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2-2-2 动量定理 牛顿第二定律
x Tx = F − m ( g + a ) l
若绳的质量忽略,则张力等于外力.
x
Tx
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