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与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍
一．积分法
例 设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，试证明：在(,)ab内至少存在一点，

满足：22[()()]2[]()fbfabaf
分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0fbfabaf
左端看成一个函数()Fx（辅助函数）在处的导数，即令
22
()[()()]2[]()Fxfbfaxbafx

积分得222()[()()][]()Fxfbfaxbafx
证明：作辅助函数222()[()()][]()Fxfbfaxbafx
22
()[()()]2[]()Fxfbfaxbafx

则()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且
22
()()()()FaafbbfaFb

由罗尔定理知：存在(,)ab，使()0F，即得
22
[()()]2[]()fbfabaf

说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取
2222
()[()()]()[](()())Fxfbfaxabafxfa

由此可得()()0FaFb，不但计算更方便，而且对证明更有信心

（2）本题若取2()gxx，所以()2gxx 由柯西中值定理得：存在(,)ab，

使得 22()()()2fbfafba 移项得22[()()]2[]()fbfabaf
但是为了应用柯西中值定理，必须假定00abab或，以确保()0gx
而对0ab情况，不能应用柯西中值定理
二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章）
例 设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f，求证：在(0,1)内至少存在

一点，满足：2()()0ff
分析 本题求证式中不仅含有()f，而且含有()f，对()f是难以直接积分法，像上例的求出一
个()Fx，使得它的导数满足()2()()Fxfxxfx常常不可能
由于[()()]()()()()uxfxuxfxuxfx中既含有含有()fx又含有()fx
与求证式构造已是相同的了，但要使()2()uxuxx和同时成立也是不可能的，
解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子
因为任给一个()0x，有

2()()0()[2()()]0ffff
从而求证式等价于2()()()()0ff
上式左端看成一个函数()()()Fxuxfx（辅助函数）在处的导数，即令
()()()()()2()()()()Fxuxfxuxfxxfxxxfx



令 ()()()2()()()()2uxuxuxxuxxxxx
（说明()fx与()fx的系数对应成比例）
所以 ()()222uxuxduududxxdxxux分离变量得

2
2lnlndu
dxuxcux

得 2ucx 取1c 得2ux

作辅助函数2()()Fxxfx
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证明：作辅助函数2()()Fxxfx, 2()2()()Fxxfxxfx
22
(0)0(0)0(1)1(1)0FfFf

从而()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)FF
由罗尔定理知：存在(0,1)，使()0F，得
2
2()()0ff

又01，上式两边同除得 2()()0ff

说明：（1）微分方程是一阶微分方程 ()()2uxuxx，通过分离变量法求解的

本题也可避开微分方程 上式化为()2(ln())(2ln)()uxuxxuxx
两个函数的导数相等，二者至多相差一个常数，即ln()2lnlnuxxc
2
()uxcx
右端加上lnc只是为了去对数方便，没有什么特殊含义

（2）为了作辅助函数更加快捷，由求证式2()()0ff
将替换成x，考虑方程2()()0fxxfx

得()2(ln())(2ln)ln()2lnln()fxfxxfxxcfxx
去对数得，2()xfxc (一定要让右端化为常数)
令左端为()Fx，即2()()Fxxfx
例：设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0ff，求证：在(0,1)内至少存在
一点，满足：()()0ff
分析：（1）令()()()Fxuxfx，
()()()()()()1()Fxuxfxuxfxxfxfx



()fx与()fx

的系数对应成比例

2
()()()[ln()][]1()2uxuxuxx

xuxxux

2
ln()ln2xuxc
取1c，得22()xuxe 辅助函数为22()()xFxefx

（2）较为快捷的方式，将求证式中的换成x，考虑方程()()0xfxfx
2
()[ln()][]()2fxx

xfxfx

2

ln()ln4xfxc

得 22()xefxc 左端为()Fx，即22()()xFxefx
证明：辅助函数22()()xFxefx， 2222()()()xxFxxefxefx
1
2
(0)(0)0(1)(1)0FfFef

从而()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)FF
由罗尔定理知：存在(0,1)，使()0F，得
22
22
()()0efef

化简得()()0ff