这种方法是指把要证明的结论中的某个参数 “变易” 为变量 x , 从而构造出相应的辅助函数的方 法。 例 1 设函数 f ( x) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 在 ( 0 , 1) 内可导 , 且 f ( 1) = 0 , 证明在 ( 0 , 1) 内至少存在一点 ) f (ξ ξ, 使 f ′ (ξ ) =ξ [ 分析 ] 本题要求证明 : 至少存在一点 ξ ∈ ) f (ξ ( 0 , 1) 使 f ′ (ξ ) =ξ (ξ ) + f (ξ ) = 0 , 将ξ 结论变形为 :ξ f′ “变易” 为 变量 x 得 ( x) + f ( x) = 0 xf ′ 则设辅助函数为 F ( x ) = xf ( x ) F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 连 续 , 在 ( 0 , 1) 内 可 导 , 且 F ( 0) = F ( 1) = 0 , 则根据罗尔定理 , 在 ( 0 , 1) 内至 (ξ ) =ξ (ξ ) + f (ξ ) = 0 少存在一点 ξ, 使 F′ f′ ) f (ξ (ξ ) =即有 f ′ ξ 例 2 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 则在 ( a , b) 内至少存在一点 ξ使
得辅助函数
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乌 云 刘玉瑛 几种构造辅助函数的方法的归纳 教育教学研究 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且
F ( a) = F ( b) = f ( b) l na - f ( a) l nb 根据罗尔定 (ξ ) = 0 , 即有 理 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , 使 F′ f ( b) - f ( a) = ξ ln b (ξ ) f′ a [ 分析 ] 将结论中的 ξ换成 X , 得可分离变量 (ξ ) f′ dy 的微分方程 : (ξ = K ,即 = kdx f ) y 其通解为 f ( x ) = cekx 即 e - kx f ( x ) = c 于是可设辅助函数为 F ( x ) = f ( x ) e - kx 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( a) = F ( b) = 0 , 由罗尔定理知 , 至少存在一点 ξ (ξ ) f′ (ξ ) = 0 , 即有 ∈ ( a , b) , 使 F′ = k ) f (ξ 例 6 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 在 ( 0 , 1) 内可 f ( x) - 1 导 , f ( 0) = f ( 1) = 0 , li m = 1 , 试证 : 1 1 2 x→ ) 2 ( x 2 1 ( 1) 存在 η ∈ ( ) = η; , 1) , 使得 f (η 2 ( 2) 对任意实数 λ, 必存在 ξ ∈ ( 0 ,η ) , 使得 ( ξ ) λ ( ξ ) ξ f′ - [ f - ] = 1 [ 分析 ] 在 ( 1) 要证明的结论中 , 证至少存在 1 ) = η, 结论变形为 f (η ) 一点 η ∈ ( , 1) , 使 f (η 2 η = 0 , 即证函数有零点 , 将 η “变易” 为 x得 ( ( f x) - x = 0 则设辅助函数为 F x) = f ( x) - x f ( x) - 1 1 ) = 1 ,故 F( x) 则由 li m = 1 ,知 f ( 1 1 2 2 x→ ( x ) 2 2 1 在 [ , 1 ] 上连续 , 且 2 1 1 1 1 F( ) = f ( ) = > 0, 2 2 2 2 F ( 1) = f ( 1) - 1 = 0 - 1 = - 1 < 0 ; 1 ) 由零点定理知 , 至少存在一点 η ∈ ( , 1) , 使 F (η 2 = 0 , 即 f ( h) = η 在 ( 2) 将证结论中的 ξ换为 x , 得一阶线性微分 ( x) - λ 方程 : f ′ f ( x) = 1 - λ x
(ξ ) = f′ f ( b) - f ( a) 2ξ b2 - a2 f ( b) - f ( a) 2ξ 2 2 b - a
2 2 b f ( a) - a f ( b) 2 2 b - a f ( b) - f ( a) 2 F ( b) = f ( b) b 2 2 b - a 2 2 b f ( a) - a f ( b) = 2 2 b - a 根据零点定理 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) 使
bf ( b) - af ( a) ) +ξ (ξ ) = f (ξ f′ b- a bf ( b) - af ( a) = k ,则 b- a bf ( b) - kb = af ( a) - ka [ 分析 ] 令
则可设辅助函数为 :
F ( x) = xf ( x) - kx bf ( b) - af ( a) x b- a 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( a) = xf ( x ) = F ( b) 。 由罗尔定理知 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , (ξ ) = 0 , 即有 使 F′ bf ( b) + af ( a) ) +ξ (ξ ) = f (ξ f′ b- a
K
[ 责任编辑 : 张建荣 ]
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=
(ξ ) = 0 即 f ′ (ξ ) F′ (ξ ) = f′ f ( b) - f ( a) 2ξ b2 - a2
f ( b) - f ( a) 2ξ = 0 2 2 b - a
二 、 原函数法
在利用微分中值定理 ( 尤其是罗尔定理 ) 求解 介值 ( 或零点) 问题时 , 要证明的结论往往是某一个 函数的导函数的零点 , 因此可通过不定积分反求出 原函数作为辅助函数 , 其步骤为 : 1 . 将要证结论中的 ξ( 或 x 0 ) 换成 x ; 2 . 通过恒等变换 , 将结论化为易积分 ( 或容易 消除导数符号) 的形式 ; 3 . 用观察法或凑微分法求出原函数 ( 必要时 , 可在等式两端同乘以非零的积分因子 ) , 为简便起 见 , 可将积分常数取为零 。 4 . 移项 , 使等式一边为零 , 则等式的另一边即 为所需的辅助函数 。 例 3 设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 0 < a < b , 证明在 ( a , b) 内必存在一点 ξ, 使
λ x 其通解为 f ( x ) = x + Ce , λ - x ( ) 即 e [ f x - x ] = C 于是构造辅助函数为 : F ( x ) = e - λx [ f ( x) - x ] ) 内可导 , 且 F ( x ) 则 F ( x ) 在 [ 0 ,η] 上连续 , 在 ( 0 ,η ) = 0 , 由罗尔定理知 , 至少存在一点ξ ∈ ( 0 , = F (η η ) , 使得 F′ (ξ ) = 0, -λ (ξ ) = e ξ{ f ′ (ξ ) - λ[ f (ξ ) - ξ] - 1} = 0 则 F′ (ξ ) - λ[ f (ξ ) - ξ] = 1 即有 f ′
期)
几种构造辅助函数的方法的归纳
乌 云1 刘玉瑛2
( 1. 内蒙古大学职业技术学院 ,内蒙古 呼和浩特 010023 ; 2. 内蒙古科技大学数理学院 ,内蒙古 包头 014000)
一 、 参数变易法
四 、 微分方程法
所谓 “微分方程法” 是指遇到诸如 “求证存在 ξ (ξ ) = φ[ξ, f (ξ ) ]” ∈ ( a , b) , 使得 f ′ 之类的问题 φ ( ) 时 , 可先解微分方程 y′= x , y , 得其通解 G ( x , y ) = c , 则可构造辅助函数为 F ( x ) = G ( x , y ) 例 5 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 且 f ( x ) ≠0 , x ∈ ( a , b) , 若 f ( a) = f ( b) = 0 。 (ξ ) f′ 证明 :对任意实数 k , 存在点 ξ ∈ ( a , b) 使 (ξ = f )
三 、 常数 k 的值法
若要证明的命题中 , 常数已分离 , 可考虑用以 下步骤求辅助函数 : 1 . 将常数部分记作 k ; 2 . 恒等变形 , 使等式一端为 a 构成的代数式 , 另一端为 b 构成的代数式 ; 3 . 分析关于端点的表达式是否为对称式 , 若 是 , 只要把端点 a 改成 x , 则换变量后的端点表达式 就是所求辅助函数 。 例 4 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 证明 :在 ( a , b) 内至少存在一点 ξ, 使
[ 分析 ] 将要证明结论中的 ξ换为 x , 再变形
1 b ( x) 两边积分 , 得 为 [ f ( b) - f ( a) ] = ln f′
a b [ f ( b) - f ( a) ] l nx = l n f ( x ) + C 取 C = 0 , a F ( x) = [ f ( b) - f ( a) ] l nx - l n b f ( x) a x
f ( b) - f ( a) = ξ ln b (ξ ) f′ a
(ξ ) = [ 分析 ] 本题要证明 f ′
即证 :存在唯一的 ξ ∈ ( a , b) , 使
f ( b) - f ( a) (ξ ) f ′ 2ξ = 0 2 2 b - a
将ξ “变易” 为变量 x , 得辅助函数
f ( b) - f ( a) 2 x b2 - a2 则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( x) = f ( x) F ( a) = F ( b) f ( b) - f ( a) 2 F ( a) = f ( a) a 2 2 b - a