微分中值定理证明中辅助函数的构造1原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴.例1：证明柯西中值定理.分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得'先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得尸（兀）=/（兀）_/丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数.g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ¥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \兔+q 无+匕2兀2+…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根.证： 由于［*（&）+。
］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +・・・ + -^—兀"° +C 」 〜 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2+ —x 3 +・・・ + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续2） F （x ）在（0, 1）内可导3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。
2 3 n + \故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。
（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +・・・+qg" = 0・/(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>这说明方程6/() + a A x+tz2x2 + • • •+ci fl x n = 0在(0, 1)内至少有实根x = ^ .2积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数.例3：设/(兀)在［1, 2］上连续，在(1, 2)内可导，/(1) = |, /(2) = 2.证明存在壮(1,2)使广⑷=琴2・分析：结论变形为彳厂©-2/© = 0,不易凑成F,(x)|^ = 0・我们将§换为兀，结论变形为空2-2 = 0,积分得:ln/(x)-21nx = ln^ = lnc,即绰=。
，从而/(X) X 对对可设辅助函数为F⑴=绰，有F(1) = F(2) =丄.本题获证.JT 2例4：设函数/(x), g(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可微，f(a) = f(b) = 0.证明存在介(恥)，使得：广© +0・•厂©证：将广© + /(0g'@) = O变形为广© = g)g@)=>为「则*4 ‘两边关于兀积分’得/(砂e双p (計)兀=)C e吠p(g = Ke x ~p您丿，其中K = expC{,由/( x)= K e欢p (g可得K = /(x)exp(g(x))・由上面积分的推导可知，/(x)exp(g(x)) 为一常数K,故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的§的存在是不成问题的.因而令F(x) = /(x)exp(g(x)),易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数.例5：证明拉格朗H中值定理.分析：通过弦AB 两个端点的育•线方程为 y = /⑷+理二型(…),则函数/(劝与 b-a直线 AB 的方程之差即函数个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.例6：若/(兀)在［a,b ］上连续且f(a) < a. f(b) >b •试证在(a,b)内至少有一点§ ,分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连 续函数y = /(x)的图形曲线必跨越)工兀这一条肓 线，而两者的交点的横坐标「恰满足f(U 进 而还可由图知道，对［a,b ］上的同一自变量值兀，这 两条曲线纵坐标之差f(x)-x 构成一个新的函数 g(x),它满足g(a)v0,gG)>0,因而符合介值定理的条件.当歹为g ⑴的一个零点时，g© = 0恰等价于因此即知证明的关键是构造辅助函数g(x) = f(x)-x ・4常数k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1) 将结论变形，使常数部分分离出来并令为R ・2) 恒等变形使等式一端为。
及/(a)构成的代数式，另一端为b 及/⑺)构成的代 数式. 3) 观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为x, 相应的函数值改为/(%).4) 端点换变量无的表达式即为辅助函数F(Q ・例7：设/(尢)在［a,b ］上连续，在(a,b)内可导，(0 < a < /?),试证存在一点§ w(a,b), 使等式/0) - f(a) = 1详歹广©成立.在两F （務 * x ）b分析：将结论变形为［绻广©,令k 乂罗r,则有1 rp- ia\ \ vb- lenf(b)-k\nb = f(a)-k\na ,令/? = x , 口J得辅助函数F(x) = /(x)-klnx .例8：设广⑰在［d,b］上存在，在a<c<b ,试证明存在gw(a,b),使得/(Q)| | g Y .(ci一b) (a- c) (b- a) (4 c) (& a)(£ b) 2分析：令一+ ------- b ------------- f(k , 于是有(a一b)c) 一(b et) (b e)(b- c) /( + a) -(a Z?)+ /( -e) (c =a) f(^ i,上式为关于a, b , c三点的轮换对称式，令b = x ( or : c = x , or : a = x ),则得辅助函数F(x) = (x-c)f(a)十(d —x)f(c)十(c一tz)/(x) 一k(a-x\a一c)(x一c)・5分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.例9：设函数F(兀)在［0, 1］上连续，在(0, 1)内可导，证明在(0, 1)内存在一点C ,使得F(l) = F(()) + (』Y 一严)F(C).分析：所要证的结论可变形为：F(l)-F(0> t c~e-c c r(,即eF⑴_F(0)= 中,因此可构造函数= 则对F(x)与G(劝在［0, 1］上应用柯e-1 e西中值定理即可得到证明.例10：设函数/(兀)在［0,1］上连续，在(0, 1)内可导，且/(0)=0,对任意XG(0,l)有/(兀)工0・证明存在一点兵(0,1)使学◎=孕二冬5为自然数)成立.f© /(I-歹)分析：欲证其成立，只需证犷⑷/(I-歹)-广(1-歹)/@) = 0由于对任意xe(0,l)有/•仏)工0 ,故只需证：— fe/)—歹”扌即［(f(x))n f(l-x)］=0,于是引入辅助函数F(x) = (/(%))V(l-^) 5为自然数).例11 ：设函数/(%)在区间［0, + 00 ］上可导，且有〃个不同零点：0<西<兀2<… <兀•试证(rf(x) + f \x)在［0, +oo］内至少有川-1个不同零点.(其中，d为任意实数)证明：欲证«/(%)+ f\x)在［0, +00)内至少有〃T个不同零点，只需证方程〃(兀)十广(兀)=0在［0, +00］内至少有”-1个不同实根.因为，x G［0,+oo), e a G0,故只需证方程驟财(兀)+广(兀)］=0在［0,+oo)内至少有1个不同实根.引入辅助函数F(x) = e av f(x),易验证F(x)在区间|西,兀2】，［兀2，卸，…，丨£_］,£】上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这〃-1个区间上应用罗尔定理，得F©) = F©)=・・・WJ=0 ,其中討厂,兀2)奂2 X 2兀J篤丘"C且0v©v§2<・・・< 知以上说明方程F'(x) = 0在［x,,x2］［x2,x3］・・・［“,£］u［0, +oo］内至少有”-1个不同实根，从而证明了方程妙(兀)+ f '(^) =0在［0, +oo］内至少有斤-1个不同实根.6待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式屮含§的部分为M ,再将等式中一个端点的值b换成变量x,使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数0(兀)，这样首先可以保证0(b)二0,而由等式关系(p(a) =0自然满足，从而保证/(劝满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M与广(§)之间的关系.例12：设/(力是［d,b］上的正值可微函数，试证存在金(⑦方)，使满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在使0(歹)=0,解得M=上孚，故 ］n 輕仝“)• /(d)代)例13：设函数/(朗在［d,b ］上连续，在⑺上)内可导,则在(d,b)内至少存在一点§ 使丝［/(仍-/⑷］=(夕-/)/毬).证明：将所证等式看作/(b)-/(d)=(夕-/)Z 孚，设f(b)-f(a) = M(b 2-a 2), 令(p(x) = f(x)-f(a)-M(x 2-a 2),则©(兀)满足罗尔定理条件，由罗尔定理得,存在一点歹w(a,b),使奴疋(上，即/C 疋2= 若$二0,则/CZ —，结论成立；若§工0, 从而有 24/@) - /(a)] = f(^(b 2-a 2). 例 14：设0<x, <x 2,则存在^e(x p x 2)使x^e X2 -x 2e Xl=^(l-^)(x, -x 2)・ 分析：对于此题设x x e X2 -x 2e X{ =M(<X X -X 2)作函数^9(x) = x l e x -xe X}-A/(%)-x)・应 用罗尔定理可得存在歹丘(石,吃)，使奴疋0=，即马馆阳=0,从而M=e Xi-x/, 这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证 明的等式变形，重新构造辅助函数. R2 Ri ” 1 1证明：将所证等式变形为一--=^(1-^)(—--),e x 0勺 1 1令(p{x)= - --------- M (------ ),则(p(x)满足罗尔定理条件,X X ( 兀 兀[x }e X2 -x 2e v ' =占(1一歹)(兀］一七)・总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二 是要认真分析，巧妙构造辅助函数.抓住这两点，即可顺利完成证明. 则性$丘(兀］,兀2)，使0 £今用罗尔定理可得存在 于是M=( 1■歹厉，故。