第九章 导体和电介质中的静电场 §9-1静电场中的导体 一.导体的静电平衡条件 1.静电感应现象a.静电感应：外电场的作用导致导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象b.静电平衡状态：导体内部和表面上都没有电荷的定向移动状态2.导体的静电平衡条件 (1).静电平衡条件：a.导体内部任何一点的场强为零b.导体表面上任何一点的场强方向垂直于该点的表面 (2).等价条件：静电平衡时，导体为等势体.证:设a 和b 为静电平衡导体上任意两点 单位正电荷由a 移到b ，电场力的功为b a b aU U l d E -=⋅⎰ U ∆= (1).a 、b 在导体内部：0=E0=∆∴U(2).a 、b 在导体表面：l d E⊥0=⋅∴l d E 即0=∆U----静电平衡的导体是等势体二.静电平衡导体的电荷分布1.导体处于静电平衡时，导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面上 证：在导体内任一点P 处取一任意小的高斯面S静电平衡导体内0≡E⎰=⋅∴SS d E 0→0=∑内S i q ----体内无净电荷即电荷只能分布在导体表面上2.有空腔的导体：设空腔导体带电荷Q空腔内没有电荷时:导体内部和空腔内表面上都没有净电荷存在，电荷只分布在导体外表面证：在导体内作一包围空腔的高斯面 S 导体内0≡E⎰=⋅∴SS d E 0导体的静电感应过程静电平衡状态++++即0=∑内S iq----S 内无净电荷存在问题：会不会出现空腔内表面分布有等量 异号电荷的情况呢？空腔内有电荷q 时：空腔内表面感应出等值异号电量-q ，导体外表面的电量为导体原带电量Q 与感应电量q 的代数和由高斯定理和电荷守恒定律可证3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与 该处表面的电荷面密度成正比证:过紧靠导体表面的P 点作垂直于导体 表面的小圆柱面，下底△S ’在导体内部⎰⋅S S d E ⎰∆⋅=S S d E S E ∆=0εσS∆⋅=εσ=∴E 4.静电平衡导体,表面曲率越大的地方,电荷面密度越大 以一特例说明:设有两个相距很远的导体球，半径分别为R 和r (R >r )，用一导线将两球相连R Q U R 041πε=R R R0244πεσπ=εσRR =r q U r 041πε=r r r 0244πεσπ=0εσrr = rR R r =∴σσ 三.导体静电平衡特性的应用 1.尖端放电年美富兰克首先发明避雷针2.静电屏蔽静电屏蔽：隔绝电的相互作用,使内外互不影响的现象. a.对外电场的屏蔽+++++b.接地空腔导体屏蔽腔内电荷对外界的影响.§9-2 有导体时静电场的分析方法 导体放入静电场中：导体的电荷重新分布→导体上的电荷分布影响电场分布→静电平衡状态[例1]半径为R 的不带电导体球附近有一点电荷+q ，它与球心O 相距d ，求(1))导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势；(2) 若将导体球接地，球上的净电荷为多少？解：建立如图所示的坐标系 设导体球表面感应出电荷±q’a.球心O 处场强为零，是±q’的电场和q 的电场叠加的结果 即E E E '+=00=E E -=∴')](4[20i d q --=πεi d q 204πε=b.因为所有感应电荷在O 处的电势为⎰±='04''q Rdq U πε0=而q 在O 处的电势为dq U 04πε='0U U U +=∴dq 04πε=导体球接地：设球上的净电荷为q 1Rq dq U 010044πεπε+=0=解得q dR q -=1 [例2]两块放置很近的大导体板，面积均为S ，试讨论以下情况空间的电场分布及导体板各面上的电荷面密度.←两板所带电荷等值异号;两板带等值同号电荷；两极板带不等量电荷 解：不考虑边缘效应时，可认为板上电荷均匀分布在板表面上 设四个表面上的电荷面密度分别为σ1, σ2,σ3和σ4a.作两底分别在两导体板内而侧面垂直于板面的闭合柱面为高斯面++()S S s d E ∆+∆=⋅⎰3201σσε 0=32σσ-=∴b.板内任一点P 点的场强为40302012222εσεσεσεσ---=p E 0= 41σσ=∴(1).设两板带等值异号电荷+q 和-q ：q S =+)(21σσ q S -=+)(43σσSqS q -=+++∴4321σσσσ0= 041==∴σσ ----电荷分布在极板内侧面S q /2=∴σ S q /3-=σ由场强叠加原理有302122εσεσ--=E 0= 同理03=E0302222εσεσ-=E Sq0ε=方向向右 (2).设两板带等值同号电荷+q ：q S =)(21σσ＋ q S =)(43σσ＋ 0)()(4321=+-+∴σσσσ由3241σσσσ-==有032==σσ ----电荷分布在极板外侧面Sq ==∴41σσ 由场强叠加原理可得:0401122εσεσ--=E Sq0ε-=方向向左σ4SⅠ401222εσεσ-=E 0= 0401322εσεσ+=E Sq0ε=方向向右 (3).设两极板所带电量分别为q 1和q 2：S q /121=+σσ S q /243=+σσ S q q /)(2141+=+∴σσ12σ=可得S q q 2/)(2141+==σσ112σσ-=∴S q S q q 221-= Sq q 21223-=-=σσ 由场强叠加原理有0403020112222εσεσεσεσ----=E 01εσ-=Sq q 0212ε+-= 0403020122222εσεσεσεσ--+=E 02εσ=S q q 0212ε-= 0403020132222εσεσεσεσ+++=E 01εσ=Sq q 0212ε+= [例3]把一块原来不带电的金属板B 移近一块带有+Q 的金属板A 平行放置，设两板面积均为S ，板间距D 。

（1）当B 不接地时，U AB =？。

（2）B 接地时，U AB =？ 解:A 板单独存在时电荷均匀分布.(1).当B 板靠近A 板时,B 板将有感应电荷产生,有 σ1 =σ4 σ2 = -σ3板间是匀强电场:E=σ2／ε0=Q ／2ε0S ∴U AB =Ed=Qd/2ε0S(2).B 板接地时,A 板电荷重新分布 σ1 = σ4=0 , Q 全部分布在σ2面上 σ2= Q / S = - σ3E = σ2 / ε0 = Q / ε0S ∴U AB =E d= Q d / ε0S[例4]半径为r 1的导体球带有电荷+q , 球外有一个内外半径分别为r 2 、r 3的同心导体球壳，壳上带有电荷+Q,求电场分布, 球和球壳的电势U 1和U 2及它们的电势差△U; 用导线将球和球壳连接时场和电势怎样? 外球壳接地时怎样? 设外球壳离地面很远, 若内球接地, 电荷如何分布? U 2为多少？解： 球壳内表面均匀分布电荷-q ，球壳外表面均匀分布电荷q+Q 以同心球面作为高斯面有1r r < 01=Evvv21r r r <<02024r r q E πε=32r r r << 03=E3r r >02044r r Q q E πε+=a.球的电势为⎰∞⋅=11r r d E U ⎰⎰∞⋅+⋅=32142r r r rd E r d E ⎰⎰∞++=32122044r r r dr r Qq dr r q πεπε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=321041r Q q r q r q πε b.球壳的电势为⎰∞⋅=32r r d E U ⎰∞⋅=34r r d E⎰∞+=3204rdr r Q q πε304r Q q πε+= c.电势差为21U U U -=∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210114r r q πε (1).用导线连接球和球壳：球面上的电荷与球壳内表面电荷中和0321===E E E02044r r Q q E πε+=⎰∞⋅==3421r r d E U U dr r Qq r⎰∞+=3204πε 304r Qq πε+=(2).外球壳接地，即U 2=0表面和球壳内表面上的电荷分布不变0431===E E E02024r rq E πε=⎰⋅=2121r r r d E U )11(4210r r q -=πε 21U U U -=∆∴1U =(3).内球接地有U 1＝0设内球表面带电荷q’，则球壳内表面带电荷-q’，球壳外表面带电荷(Q ＋q’)30201014'4'4'r Qq r q r q U πεπεπε++-==Q r r r r r r r r q 12231312'--=∴因r 3 r 1 < r 3 r 2 , 所以 q’<0 球壳电势3024'r Q q U πε+=()()1323210124r r r r r r r r Q -+-=πε§9-3 静电场中的电介质电介质：内部几乎没有可以自由运动电荷的物体，又称为绝缘体 一.电介质的分类1.无极分子电介质：无外电场时分子的正负电荷中心重合 没有固有电矩的分子称为无极分子2.有极分子电介质：无外电场时分子正负电荷中心不重合3.具有固有电矩的分子称为有极分子 二.电介质的极化1.无极分子的极化 *无极分子的极化是由于分子中的正负电荷中心在外电场作用下发生相对位移的结果 ----位移极化2.有极分子的极化*有极分子的极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果 ----转向极化 三.电极化强度 1.电极化强度(1).无外场时：电介质中任一小体积元∆V 内所有分子的电矩矢量和为零，即∑=0i p(2).有外场时：电介质被极化，∑≠0i p , 且外场越强，电介质极化程度越高，∑i p越大(3).定义：单位体积内分子电矩的矢量和为电极化强度，即VpP i∆=∑----反映了电介质的极化程度诱导电偶极矩(4).单位：库仑/米2 (C/m 2)，与电荷面密度的单位相同 讨论：a. P是所选小体积元∆V 内一点的电极化强度。

当电介质中各处的电极化强度的大小和方向均相同时，则称为均匀极化b.极化(束缚)电荷也会激发电场，使电场的分布发生变化 2.极化强度与场强的实验系电介质中某点处的电极化强度与该点处的合场强有如下的实验关系：E P e 0εχ=χe ：电介质的电极化率，无量纲。

对各向同性的电介质，χe 为常数四. 与束缚电荷面密度的关系1.设在均匀介质中，截取一个长为l ，底面积为dS ，体积为dV 的小斜柱。

斜柱的轴线与电极化强度的方向平行2.等效电偶极子的总电矩为∑⋅=l dq p il ds ⋅'=σ l ds dV ⋅⋅=θcosdV ip P ∑=∴ θσcos '= θσcos P ='∴n P ⋅=n P =----截面上束缚电荷面密度等于极化强度沿该截面外法线方向的分量 五.介质内部封闭曲面内的极化电荷1.在介质内任取一闭合曲面S ，S 上任一小面元dS 上极化电荷面密度为σ’dS q d σ'='∴dS P θcos =S d P⋅=S 外侧面上的极化电荷⎰'='sq d q 外⎰⋅=sS d P2.S 内包含与q’外等量异号的极化电荷∑-='内外S q q '⎰⋅-=SS d P----任意闭合曲面内的极化电荷等于极化强度对该闭合曲面通量的负值 六.介质中的静电场介质中某点的场强，是由外电场和极化电荷的电场叠加而成E E E '+= 0等效偶极子以两块靠得很近的金属板为例E E E '-=000εσεσ'-=P P n =='σ E P e 0εχ=eE E χ+=∴10令e r χε+=1----相对介电系数rE E ε0=∴讨论：1>r ε r E E ε0=∴0<----极化电荷的电场将自由电荷的电场部分抵消的缘故 七.有介质时的高斯定理 电位移 1.由高斯定理有⎰∑=⋅SS q S d E 内1ε ∑∑'+=内内S S q q )(100ε⎰∑⋅-=SS S d P q内' ()∑⎰=⋅+∴内S Sq S d P E 00ε2.定义：P E D+=0ε----电位移⎰∑=⋅∴SS q S d D 内自由电荷----有介质时的高斯定理或D的高斯定理讨论：a. 电位移通量只与闭合曲面所包围的自由电荷有关，但D本身与自由电荷和极化电荷都有关b.可用电位移线来形象地描述电位移E 线与D线的区别:E线:从自由正电荷或束缚正电荷出发，终止于负电荷.D线:从自由正电荷出发,终止于自由负电荷.八. P E D，，三矢量的关系E P e 0εχ= P E D +=0εE E D e 00εχε+=∴E e )1(0χε+=E r εε0=.定义：r εεε0=----介质的介电常数E D ε=∴说明：D 是一个辅助物理量，没有明显的物理意义，但有介质时，计算D 通量比计算E 通量简便以上讨论的是各向同性介质，P E D，， 方向一致[例4]半径为R 的金属球带有正电荷q 0，置于一均匀无限大的电介质中(相对介电常数为εr )，求球外的电场分布，极化电荷分布和极化电荷电量 解:电场分布球对称性取半径为r 并与金属球同心的球面S 为高斯面⎰=⋅Sr D S d D 24π0q =240rq D π=∴方向沿径向向外或 0024r rq D π=a.电介质中的电场分布为εD E =rD εε0 =02004r r q r επε=b.极化强度为E P e0εχ=02004)1(r r q r r επεεε-=02041r r q rr πεε-= c.球与介质交界处，介质表面的法向与该处极化强度的方向相反n P ⋅='∴σP -=241R q r r πεε--=d.极化电荷电量为24R q πσ⋅'='011q r ⎪⎭⎫⎝⎛-=ε----q’与q 0反号，而且数值小于q 0[例5]两带等量异号电荷的导体板平行靠近放置,电荷面密度分别为+σ和-σ ，板间电压V 0=300V 。