§7-4 电介质中的电场 有电介质时的高斯定理 电位移
一、电介质中的电场
附电加介电质场中之的和电（矢场量等和于）自：由电E 荷 产生E 0 的 电E 场 与极化电荷产生的
下面我们以平行板电容器为例求电介质中的场强：
设电容器带有电量q 0 ，其间无电介质 ＋σ0 －σ’ ＋σ’ －σ 0
2
.
571
05
V/m
（3）极化电荷面密度为：
003.513 .0 1 51 1 8.8 0 1 1510 109.010 6
6.710 6 C/m 2
（4）极化电荷所产生的场强为：
E0 86.8.75 110 06127.6105 V/m
点 (2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量，真正有物理意义
说
的是电场强度矢量 E，引入 D 的好处是在高斯定理的表 达式中，不出现很难求解的极化电荷；
明：
(3)
与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述
D 矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要
注意，D 线与 E 线是不同的；
(4) 引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为： “在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量 等于该面所包围的自由电荷的代数和”。
解： （1）自由电荷所产生的场强（在真空中）为
E 0ε σ 0 08 9. . 8 1 1 0 5 0 0 6 1 2 1. 0 12 6 0 V/m
( 2 )由Eε Er0 ε σ rε 00 σ ε 0 可 知 电 介 质 内 的
Eσ ε 0
9 . 01 06 3 . 51 011
（1） 如图所示，过P点作与金属球同心的球面S，由高斯定
理知： SD dsq0
所 以 4r2Dq0
即D q0
4r2
S
++ ++
P
因 DE，所以 P点的场强为：
E
D


q0
4 r2

4
q0
0r
r2
（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q’，在 球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q’，应用真空中的高斯 定理于球面S：
与极板平行，面积均为 A ，上底面在正极板内，下底面在电介
质内。
这样，闭合曲面 S 内的自由电荷 q 0= σ0A ，而极化电荷 q’= －σ’A ，高斯定理写为：
SE ds 1 0(0AA )
代入前面已得到的，自由电荷与极化电荷面密度间的关系
式，代有入：高斯定理有0A ：A0rAq0 r
1
E dS
S
0
q

1
0 (q0

q )

由第一问的结论有： SE d S SEdS
－ －+ + +－ －－++q-q+0’－++－－
相邻介质表面的极化电荷面密
++ + --
+ +σ0 - -σ’
度为 -σ’，
根据真空中的高斯定理，在
电场中任作一闭合曲面 S，通 过该闭合曲面的电通量为：
+
+
+
--
-
-
SE ds10
q(内 )
其中q（内）是曲面内所有电 荷的代数和。
为方便计，我们取如图的长方形闭合曲面 S ，其上、下底面
Eds q0
S
0r
ε=ε0εr
SE ds q0
定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移矢量，
即：
D E 时则的得高到斯有定介理质：
SD dsq0 （内）
(1) 我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯
几 定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；
注意，上面得到的总电场 E 与真空中电场 E0 的关系式，
以及自由电荷面密度 σ0 与极化电荷面密度 σ’ 的关系式，并
非普适关系式，仅在均匀各向同性介质充满电场存在的空间
时才成立。
例1、平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密 度为 9.0×10 –6 C/m2，在两极板间充满介电常数 3.5×10 –11 C2/ （Nm2）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（2）电介 质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4） 极化电荷所产生的场强。
时，两板间电势差为U 0，电容值为C 0； 当充满相对介电常数为εr 的电介质时， 电势差为U，电容值为C 。
+- + -
+
E0
-
由电容器的定义有：
+ +
-
E
+
-
C U0 C0 U
+-
+-
d
电介质放入电场中，在电介质中
EE 0E
或由 EE0E得 EE0E1.021062.57105 7.6105 V/m
由此可见，所得的结果相同。
二、有介质时的高斯定理
前面我们已学习了真空中的高斯定理，现在，我们将它推广
到有介质时的情况。我们仍以充满相对介电常数 εr 的平行板电 容器为例进行讨论：
极板上的自由电荷面密度为σ0 ，
1/εr 。
r 1 E E 0
设极板上的自由电荷面密度为±σ0，电介质表面上的极化电 荷面密度为±σ’ ，由“无限大”均匀带电平行板场强公式：
E0 00 E0 E=E0-E’ E00000
同样 EE ， r000r 0
(11r)000
E
E E0是是由由自束由缚电电荷荷激产发生的的
E0
根据电势差与电场间的关系：
U 0E 0d,UEd
C U0
C0
U
C C0

E0 E
注意到 r CC0 ,有E

E0 r
很明显，极化电荷的电场 E ’ 部分地削弱了自由电荷
的电场 E0，从而使介质中的总电场 E 减少为真空中电场的
(5) 电位移的单位是“库仑 每平方米”，符号为：C/m2 ， （这也就是电荷面密度的单位），其量纲是 I L -2T 。
例2、一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大” 的电介质中（介电常数为ε），求： （1）球外任意一点P的场 强；（2）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。
解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以 用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。