几 何 概 型 的 常 见 题 型
李凌奇2017-06-26
1．与长度有关的几何概型
例1．在区间]1,1[上随机取一个数x，2cosx的值介于0到21之间的概率为( ).
A.31 B.2 C.21 D.32
分析：在区间]1,1[上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[的任意一
个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的
概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.
解：在区间]1,1[上随机取一个数x,即[1,1]x时,要使cos2x的值介于0到21之间,
需使223x或322x
∴213x或213x，区间长度为32，
由几何概型知使cos2x的值介于0到21之间的概率为

31232度所有结果构成的区间长
符合条件的区间长度
P
. 故选A.

2．与面积有关的几何概型
例2．ABCD为长方形，1,2BCAB，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一
点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）
A．4 B.14 C.8 D.18
分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多
个，所以符合几何概型.

解：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2
因此取到的点到O的距离大于1的面积为22，
则取到的点到O的距离大于1的概率为
A
O

D
C

B
1图
412221)(的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD
O
AP
.

故选B.
3．与角度有关的几何概型
例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC，求使得
AOC和BOC
都不小于30°的概率？

分析：此题关键是搞清过O作射线OC可以在扇形的任意位置，而且是等
可能的，因此基本事件的发生是等可能的.
解：记事件A是“做射线OC，使得AOC和BOC都不小于30°”，
0
30MONBOMAON
，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，

所以.319030)(00的度数的度数AOBMONAP
4．与体积有关的几何概型
例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，
5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率.
解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，

则.2.051.)(所有水的体积取出的水的体积AP
从而所求的概率为0.2.
5．与线性规划有关的几何概型
例5．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在
下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的
概率是多少？
分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型
需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由
于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送
到和晚饭开始的时间分别为yx、，然后把这
两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问

A
C
B
O

M

N
2图
题转化为线性规划问题进行求解.
解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为yx、.用），（yx表示每次试验的结果，则所有可
能结果为：76,30:630:5),(yxyx，
即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A，则事件A的结
果为：yxyxyxA,76,30:630:5),(，即为图2中阴影部分区域.
111ABCDS
，872121211阴影S.

所以所求概率为：87187ABCDSSP阴影.
故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是87.
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：
（1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为yx,；

（2）集合表示.用),(yx表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事
件A所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.
（3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合A,对应的区域的面积.
（4）计算求解.由几何概型公式求出概率.