百度文库 - 让每个人平等地提升自我
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2.3.2 双曲线的几何性质
学习目标

1.
使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导范围、顶点、

对称性、离心率、渐近线，并能具体估计双曲线的形状特征．

2.在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生分析、归纳、推理等能力。
3.使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程
的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．
学习重点
双曲线的几何性质及初步运用；
学习难点
双曲线的渐近线方程的导出和论证.
学生活动 学法指导

自主预习

（一）复习：1．双曲线的定义？
两种标准方程是什么？
基本量a,b,c之间的关系是什么？
2．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
（二）类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质：
1．类比椭圆联想导出性质性质：以)0,0(12222babyax为例：
（1）范围：_______________________________________
（2）顶点：_______________________________________
（3）轴：_________________________________________
（4）对称性：_____________________________________
（5）离心率：_____________________________________
思考：①如何用a,b来表示离心率？
②离心率怎样刻画双曲线的开口程度？
（6）渐近线：
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思考：根据)0,0(12222babyax，你能发现双曲线的范围还受到
怎样的限制？

2.通过类比，你能推出)0,0(12222babxay几何性质吗？
3.小结：

4.等轴双曲线：
知识应用

【例1】
求双曲线22143xy的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、

离心率及渐近线方程。

标准方程
)0,0(12222babyax )0,0(12222ba
bxa

y

图形
性
质

焦点
焦距
范围
对称性
顶点

轴
实轴长 ，虚轴长 。

______:a______:b______:c

离心率
渐近线
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变式：04222yx的实轴长 虚轴长 焦点坐标
顶点坐标 离心率 渐近线方程
小结：
_________________________________________________________

【例2】
已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，焦距为16，离

心率为34，求双曲线的标准方程。

【例3】
分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1） 双曲线的渐近线方程是xy，两顶点间距离2.
（2） 与双曲线13922yx有共同渐近线，并且经过点4,3
（3） 离心率是2，且经过（2，-3）点

课堂小结
本节课主要内容：
本节课主要思想方法：
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课堂检测
1、双曲线17922yx的实轴长为 ；虚轴长为 ；焦
点坐标是 ；顶点坐标是 ；离心率是 ；渐近
线方程为 .

2、若双曲线上经过点6,3，且它的两条渐近线方程是xy3，则
双曲线的方程是 .
3、已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近

线的距离为2，求双曲线的方程.

4、已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为)22,0(F，求双曲
线的方程.

5填表
标
准
方
程

32822yx 81922yx 422yx
1254922

xy

实
轴
长
虚
轴
长
焦
点
坐
标
顶
点
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坐
标
离
心
率
渐
近
线
方
程
课后作业
双基达标
限时15分钟

1．若双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线垂直，则双曲线的离心率e为_____．

2．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝
－x，则双曲线方程为__________．

3．双曲线的两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为__________．
4．中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐
近线方程为____________．

5．焦点为(0，6)且与双曲线x22－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是____．
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6．(1)求双曲线x24－y23＝－1的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)已知双曲线x29－y216＝1与双曲线－x29＋y216＝1，它们的离心率e1，e
2

是否满足等式e1－2＋e2－2＝1?

综合提高 限时30分钟
7．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为________．

8．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，
两焦点关于原点对称，离心率e＝53，则此双曲线的方程是__________．

9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双
曲线上一点，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝4ab，则双曲线的离心率是____．

10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)、
F2(c，0)．若双曲线上存在点P使sin ∠PF1F2sin ∠PF2F1＝ac，则该双曲线的离心
率的取值范围是________．
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11．双曲线过点P(3，－2)，离心率e＝52，求其标准方程．

12．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐
近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于点A、B.
(1)求证：点P在直线x＝a2c上； (2)求双曲线的离心率e的范围．

13．(创新拓展)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交
于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此
双曲线的方程．

教学反思