专题一中点M型基本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点基本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。
特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。
特例三：条件：①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。
特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。
特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。
巩固练习：1.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，若AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，则CD长为。
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若AE＝2，EF＝1，AF＝5，则正方形的边长为。
3.已知：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。
DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，则FN的长为。
4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。
特例一特例二特例三特例四特例五巩固1巩固2巩固31.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当00＜α＜900，（如图1），求证：AE＋2BF＝AB；(2)当900＜α＜1800，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在（1）的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时（如图3），求BF的值。
2.已知：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为射线BC上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，分别交直线AB、直线CD于点G和F.(1)当点E在BC上时（如图1），求证：BE＝BG＋CF.(2)当点E在BC的延长线上时（如图2），猜想BE、BG和CF的数量关系，并证明你的猜想；(3)在（2）的条件下，设AE交CD于点H，若CH＝92BE，AB＝2，且CD＜34，求EG的长。
图1图2“A ”字型专题1. 已知，在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上一点，点G 在边AD 上，连接EG ，EG ＝DG ，作EF ⊥EG ，交边BC 于点F(图1)。
（1） 求证：AE ＋CF ＝EF ；（2） 连接正方形ABCD 的对角线AC ，连接DF ，线段AC 与线段DF 相交于点K （图2），探究线段AE 、AD 、AK 之间的数量关系，直接写出你的结论 。
（3） 在（2）的条件下，连接线段DE 与线段AC 相交于点P ，（图3）若AK ＝82，△BEF的周长为24，求PK 的长。
2. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，点D 在BC 上，且∠CAD ＝∠B ，点E 在AB 的中点，连接CE ，CE 与AD 交于点G ，点F 在BC 上，且∠CEF ＝∠BAC. （1） 若∠BAC ＝90°，如图1，求证：EG ＋EF ＝2AC ；（2） 若∠BAC ＝120°，如图2，此时线段EG 、EF 、AC 三者之间的数量关系为 ； （3） 在（2）的条件下，在∠BAD 的内部作∠DAM ＝60°，∠DAM 的一边AM 交BC 于点M ，AM 与CE 交于点N ，若AC ＝2，求线段MN 的长。
图1E 图2E图3图1图23. 已知，在△ABC 中， BC ＝AC ，∠MCN ＝21∠ACB ，CM 交AB 于点E ，过点B 作BF ⊥CB 交CN 于点F.（1） 当 ∠ACB ＝90°（如图1所示）时，求证：BE －AE ＝2BF ；（2） 当∠ACB ＝120°（如图2所示）时，线段BE 、AE 与BF 之间的数量关系为 ； （3） 在（2）的条件下，FB 、CE 的延长线相交于点G ，连接AG 、FE ，直线AG 、FE 交于点H,若AC ＝6，BF ＝BE ，求AH 的长。
“X ”字型专题1. 已知，A 、C 分别为∠BOE 两边上的两点，D 为∠BOE 内一点，DC ∥OB ，DA ∥OE ，连接OD 、AC 相交于点F ，G 为FD 上一点，过点G 的直线交OE 于Q ，交CD 于点P ，交AD 于点N ，交OB 于点M.（1） 若FG ＝31FD 时（如图1），求证：PQ ＋MN ＝PN ； （2） 若FG ＝21FD 时（如图1），且△OAC 为等边三角形，OC ＝4，CQ ＝3，现将∠DAC 绕点A 顺时针旋转，旋转后AD 所在边交OC 于S ，AC 所在边交CD 于点T ，当旋转到AT ∥MQ 时，连接ST ， 求：ST 长。
图1图2备用图图2图12. 如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，sin ∠BAC ＝54(即AB BC ＝54)，P 为AB 边上一点，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥AD 垂足为M 、N 。
（1） 当点M 与点D 重合时，求证：PM ＝5P N.（2） 当点N 与点重合时，连接AM 交PD 于点E ，将射线PD 绕点P 顺时针旋转45°，交AM 于点F ；若AC ＝3，求EF 的长。
“M ”字型专题1. 已知，四边形ABCD 中，AD ＝AB ，AD ∥BC ，∠A ＝90°，M 为AD 的中点，F 为BC 边上一点，连接MF ，过M 点作ME ⊥MF ，交边AB 于点E 。
（1） 如图1，当∠ADC ＝90°时，求证：4AE ＋2CF ＝CD.（2） 如图2，当∠ADC ＝135°时，线段AE 、CF 、CD 的数量关系为 . （3） 如图3，在（1）的条件下，连接EF 、EC 、EC 与FM 相交于点K ，线段FM 关于FE 对称的线段与AB 相交于点N ，若NE ＝310，FC ＝AE ，求MK 的长。
N ()AAM ()图1图2E图32.如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，过点B 作∠BAC 平分线AD 的垂线，垂足为D ，AD 交BC 于点E. （1）当AC BC ＝53时，求证：DE ＝81AE ； （2）当AC BC ＝54时，判断DE 、AE 的关系 ；（3）在（2）的条件下，取CD 中点F ，连结EF 并延长交AC 延长线于点G ，交CD 于F ，现有一个45°角顶点与F 重合，将它旋转一边交CG 于点M ，另一边交BC 于点N ，若CM ＝MG ，AC ＝3，求CN 的长。
2. 如图1，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边中点，以点D 为顶点，作∠PDQ ＝90°，DP 、DQ 分别交直线AC 、BC 于E 、F ，分别过点E 、F 作AB 的垂线，垂足分别为M 、N. （1） 求证：EM ＋FN ＝22AC. （2） 把∠PDQ 绕点D 旋转，当点E 在线段AC 的延长线上时（如图2）AA特别资料一、基本图形：“A ”字型1. 计算，已知：△ABC 中，DA 交BF 于点E ，AE ＝ED ，BD ：CD ＝1:2，AC ＝4，求AF 的值。
2. 已知，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝120°，若AC ＝6，BC ＝37，求AD 的长。
3. 已知，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AF ＝2，AB ＝215，求DE 的长度。
4.已知，D 在BC 的延长线上，DF 交AC 于点E ，E 为AC 的中点，BF ＝3AF. 求证：BC ＝2CD.5.已知：△AB C 、△BCE 均为等边三角形，且A 、B 、C 共线， 求证：（1）MN ∥AC （2）MNBC AB 111=+6.已知，△ABC 中，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∠B ＝60°，求证：（1）AE ＋CD ＝AC （2）若AD ＝5，PC ＝6，求AE 的长。
二、基本图形：“X ”字型1.已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥DE ，且DB ＝BC ，若AE:EC ＝1:3，AB ＝5，求AD 的长。
B2.已知：△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC交AD于点F，若∠BAC＝45°，CD＝1，BD＝23求AD的长。
3.已知，矩形ABCD沿BE折叠后C与G重合，若DE＝1，CE＝2，BC＝6，求AF的长。
4.已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BF平分∠ABC，且FC＝2AF，求证：BE＝EF.5.已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB⊥BD，∠DAE＝60°，求证：BD＋2EC＝3AC.6.已知：矩形ABCD沿AE折叠后B与G重合，且CE:BE＝1:2，求证：AF－FD＝3AB.7.已知：矩形ABCD中，B（8，5），点P（m，0）且0＜m＜8，点O关于直线PC的对称点为O'，直线CO'交直线AB于Q,求m为何值时，△PCQ是以PQ为底边的等腰三角形。
BBC三、基本图形“直射影、斜射影”1.已知：△ABC中，∠BAD＝∠C，若AB＝4，BD＝2，求AD长。
2.已知：△ABC中，AD⊥AC，若AB＝AC＝6，BD＝1，求BC的长。
3.已知：AB⊥CD，∠CED＝90°，DF⊥AC交BE于点G，若BG＝3，AE＝6，求EG的长。
4.已知：AD平分∠BAC，E在BC的延长线上，EF垂直平分AD且CE＝2CD，求证：DE＝2BD. 5.已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，延长AC至E使∠CED＝∠CBE，求证：AC＝CE .6. 已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为AD中点，且EF⊥EC，求证：BF＝3DF .7.已知：梯形OABC中，BC∥OA，B（3，6），A（8,0）点P(m，n)在AB边上（3＜m＜8），过P作OA平行线OA，交AC于D，过P作OA的垂线交OA于点E，求，当m为何值时，△ODE为直角三角形？CBBxx8.已知：△ABC中，BC＝2AB，P为BC中点，∠ABC＝∠APF＝120°，且∠ABD＝∠C，（1）求证：PF＝AE （2）若AD＝7，求DE的长。