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教学过程
一、复习预习
全等三角形的判定定理：
1、SSS：三边对应相等的两个三角形全等
2、SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3、AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
4、ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
5、HL：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等
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二、知识讲解
考点1
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
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考点2
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
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. 三、例题精析
【例题1】
【题干】已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

A
B C
D
E
3
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【答案】
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC
∵AD是中线
∴DC=DB
∵DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB
∴△CDE≌△BDA
∴CE=AB
在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB
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∴AB+AC>AE
∵DE=AD
∴AE=2AD
∵AB+AC>AE
∴AB+AC>2AD
【解析】
分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

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【例题2】
【题干】已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：BE+CF>EF。

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A
B
C
D
E F
N
1
图
1
234
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【答案】
证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC
在△DEB和△DNE中
DN=DB
∠1=∠2
DE=DE
∴△DEB≌△DNE（SAS）
∴BE=NE
同理可得：CF=NF
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在△EFN中，EN+FN>EF
∴BE+CF>EF
【解析】
分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

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. 四、课堂运用
【基础】
1、△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围（）A．1＜AD＜4
B．3＜AD＜13
. C．5＜AD＜13
D．9＜AD＜13
【答案】
A
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【解析】
解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM
所以AB=CM
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又CM-AC<AM<CM+AC
所以2<2*AD<8
所以1<AD<4 .
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2、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
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【答案】
过D作DF∥AC交BC于F，
∵DF∥AC（已知），
∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质），
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠B=∠DFB（等量代换），
∴BD=DF（等角对等边），
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. ∵BD=CE（已知），
∴DF=CE（等量代换），
∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=GE（对应边相等）
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【解析】
过D作DF∥AC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△GDF≌△CEG即可.
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【巩固】
1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
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【答案】
解：延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC
∵△ABC中,AD是BC边上的中线
∴BD=DC
∵AD=DG
∴四边形ABGC为平行四边形
∴AC=BG,AC//BG
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∴△AFE∽△GBE
∴AF/FE=GB/BE
∵AC=BE,AC=BG
∴BE=BG
∴AF=FE
【解析】
延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF .
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2、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.
E D C B A
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【答案】
延长AE到M，使EM=AE，连结DM
易证△DEM ≌△CEA
∴∠C=∠MDE, DM=AC
又BD=DC=AC
∴DM=BD,∠ADC=∠CAD
又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC
∴∠ADM=∠ADB
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. ∴△ADM ≌△ADB
∴∠BAD=∠MAD
即AD平分∠BAE
【解析】
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC
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. ∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
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C
B
A
【拔高】
1、如图，已知在△ABC内，0
60
BAC
∠=，0
40
C
∠=，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC
∠，ABC
∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
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【答案】
证明：
做PM‖BQ，与QC相交与M。

∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
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. ∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
.
. ∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP
.
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【解析】
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。

首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论。

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2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
A
C
B
D .
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【答案】
在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,
AE=AE,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又AC∥BD
∴∠ACE+∠BDE=180
.
.
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE，∠NBE=∠EBN
BE=BE
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
【解析】
根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论.
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课程小结
1)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋
转”．
2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段
相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．.。