第二章 原子的结构和性质1氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47,486.27,434.17,和410.29nm ,试通过数学处理将谱线的波数归纳成下式表示,并求出常数R 及整数n 1,n 2的数值)11(~2221n n R v -= 解: 数据处理如下表从以上三个图中可以看出当n 1=2时,n 2=3,4,5…数据称直线关系,斜率为0.010912、按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径(分别用原子的折合质量和电子的质量计算,并准确到5位有效数字)和线速度。
解: 根据Bohr 模型离心力 = 库仑力20224rerm πευ=(1)角动量M 为h/2π的整数倍 πυ2n h r m =⋅ (2)波数、c m -1(1/n 21-1/n 22)(1/n 21-1/n22)波数、c m -1(1/n 21-1/n 22)v /10-3 1/n 22(n 1=1) 1/n 22(n 1=2) 1/n 22(n 1=3)1.5233 0.75 0.1389 0.04862.0565 0.89 0.1875 0.07112.3032 0.9375 0.21 0.08332.4273 0.96 0.222 0.09069~由(1)式可知 mre0224πευ=;由(2)式可知 υπm n h r 2=nh e022ευ=基态n=1线速度, 534122190210*18775.210*626.6*10*854188.8*2)10*60219.1(2----===he ευ基态时的半径,电子质量=9.10953*10-31kg105313410*29196.510*18755.2*10*10953.9*1416.3*210*626.62----===υπm nh r折合质量,μ=9.10458*10-31kg 105313410*29484.510*18755.2*10*10458.9*1416.3*210*626.62----===πμυnh r3、对于氢原子(1) 分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态的光谱线的波长,说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围(2) 上述两谱线产生的光子能否使;(a) 处于基态的另一个氢原子电离,(b)金属铜钟的铜原子电离(铜的功函数为7.44*10-19J)(3) 若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离,请计算从金属铜晶体表面发射出的光电子的德布罗意波长解:(1) H 原子的基态n=1,第一激发态n=2,第六激发态 n=7 m E E hc 74238341210*2159.110*649.9*)125.0(595.1310*02205.6*10*99793.2*10*626.6--=--=-=λm E E hc 84238341710*3093.910*649.9*)10205.0(595.1310*02205.6*10*99793.2*10*626.6--=--=-=λ谱线属于莱曼系,(2) 从激发态跃迁到基态谱线的能量,E=hc/λ eV molhcE 19.1010*036.1*10*023.6*10*2159.110*999.2*10*626.65123783411===----λeV molhcE 31.1310*036.1*10*023.6*10*3093.910*999.2*10*626.65123883422===----λ基态H 原子电离需要的电离能为 13.6eV ,谱线不能使另一个基态H 原子电离。
J hcE 81-78341110*64.110*2159.110*999.2*10*626.6===--λJ hcE 1888342210*134.210*3093.910*999.2*10*626.6===--λ谱线的能量大于铜的功函7.44*10-19J,可以使铜电离。
(3) 根据光电效应公式:K E W hv += KmEp 2=191918110*96.810*44.710*64.1---=-=-=W hv E K181918210*39.110*44.710*134.2---=-=-=W hv E K1024341931341110*185.510*278.110*626.610*96.8*10*11.9*210*626.62------====K mE h λ1024341831342210*165.410*591.110*626.610*39.1*10*11.9*210*626.62------====K mEh λ4、请通过计算说明,用氢原子从第六激发态跃迁到基态所产生的光子照射长度为1120pm 的线性分子,该分子能否产生吸收光谱,若能,计算谱线的最大波长;若不能,请提出将不能变为可能的思路 解 根据氢原子能级公式eV nE 216.13-=从第六激发态跃迁到基态的能级差为 J eV E 18210*118.2222.13)161(6.13-==--=∆根据一维势箱模型,势箱长度为1120pm 的分子CH 2CHCHCHCHCHCHCH 2,能级公式为 2228man h E n =,电子受光照射激发为△E=E 5-E 4 J mahE E E 1921231234224510*32.4)10*1120(*10*10953.9*8)10*626.6(*989----===-=∆共轭分子吸收光谱的最大波长为 m Ehc 71983410*598.410*32.410*9979.2*10*626.6---==∆=λ5、计算氢原子φ1s 在r=a 0和r=2a 0处的比值解 已知氢原子02/301)1(1a r s e a -=πφe ee ea a a a a s a s ===----)21(2)2(1)(1000000//φφ6、计算氢原子的1s 电子出现在r=100pm 的球形界面内的概率 )(1c dx e xan ae x dx ex axn axn axn +-=⎰⎰-解:已知氢原子02/301)1(1a r s e a -=πφ,r=100pm 的球形界面内的几率为dr er a dr r Ddr P a r s ⎰⎰⎰⋅-===1001002232120)1(44φπdr re a a er dr er a r a r a r ⎰⎰⋅--⋅----=100201002210022)/2(2|/2}2/2{03.1143.11401002002001002000dr e a a rea a dr rea a a r a r a r ⎰⎰---+-+-=+-=}214.103.1141002202000dr e a a a a r ⎰-+--=)}2()2(214.103.114010020202000a d e a a a a a r --+--=⎰-1000230200|414.103.1140a r ea a a ----=3020024423.014.103.114a a a +--=)24423.014.103.114(44302003100223a a a a dr er a Ddr P a r +--===⎰⎰⋅-7282.024423.0*4/4*14.1/03.114*4020=+--=a a7、计算氢原子的积分:⎰⎰⎰∞=ππφθθϕ20221sin )(rs d drd r r P ,作P(r)--r 图,求P(r)=0.1时的r 值,说明在该r值以内电子出现的概率是90%。
解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞⋅==ππππφθθϕφθθϕ20022200221sin sin )(d d dr r d drd r r P r r s⎰⎰∞∞-==r r oa r odr r e a dr r 222/322])1(1[44ππϕπ==⎰∞-roa r odr r ea 2234分部积分:积分上下限 0< r < r =⎰∞-r oa r dr r e22令u=r 2, du = 2r dr dr e dv oa r 2-= oa r o ea v 22--=⎰⎰∞-∞-∞-+-=r oa r o r oa r o roa r rdr ea r ea dr r e22222|2rdr ea r ea r a r a r ⎰∞--+=202202 dr ea r e a r e a r a r a r a r ⎰∞---++=022002202202222300220220422a r a r a r e a r e a r e a ---++=2022222)(a r a r a r e r e r e r P ---++=2.6<r<2.7 当r=2.6 P(r) =0.1088; r=2.7, P(r) = 0.09476 P(r)在 0<r<∞ P( r) =1, 2.65<r ∞时,P(r) =0.1 所以在0<r<2.65内的几率为1-0.1=0.98、已知氢原子的归一化基态波函数为: 0311a r s e a-=πϕ(1) 利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量 (2) 利用维利定理求该基态的平均势能和零点能 解:(1) 能量算符为Hrer r r r r r m ho πεϕθθθθπ4]sin 1sin sin 11[8-H 2222222222-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= 氢原子的1s 波函数与角度无关,只与r 有关r errrrm ho πεπ418-H 22222-∂∂∂∂=30222302214118-a r o a r e ar ee rrr ramh --⋅-∂∂∂∂⋅=ππεππ3022203022141)1(18-a r o a r e ar eer rr a amh--⋅-∂∂-⋅=ππεππ302220302214])1(2[1)1(18-a r o a r a r e ar ee r a rera amh---⋅--+-⋅=ππεππ3023022141)]1(2)[1(8-a r o a r earee aa ra mh--⋅-⋅-+-=ππεππ当r=a 0时3022221]418[a r o e aa ea m h-⋅-=ππεπ3012122192123122341]10*92.52*10*854.8*14.3*4)10*602.1(10*92.52*10*11.9*14.3*8)10*626.6([a r ea-------⋅--=π)(sa r e a11830181810*18.21]10*36.410*181.2[ϕπ-----=⋅-=H 原子1s 基态的能量为-13.6eV 角动量平方算符为]sin 1sinsin 1[)2(ˆ22222φθθθθπ∂∂+∂∂∂∂-=h Mss M 1120ˆϕϕ⋅= 所以1s 轨道的角动量为0 (2) 根据维利定理,对于H 原子 <T> = - <V>/2基态H 原子的能量为 – 13.6eV = <T> + <V> = <V>/2 < V> = - 27.2eV 零点能=<T> = 13.6eV9、已知氢原子的θπϕcos )(24102032a r pe a r aZ-=,试回答下列问题:(1) 原子轨道能E=?(2) 轨道角动量|M|=?,轨道磁矩|μ|=? (3) 轨道角动量M 和z 轴的夹角是多少度 (4) 列出计算电子离核平均距离的公式 (5) 节面的个数、位置和形状怎样 (6) 概率密度极大值的位置在何处 (7) 画出径向分布示意图。