圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用1、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）（A ）5 （B ）7 （C ）375（D ）3772、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ．3、求弦心距例3.如图4，圆O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．4、求拱高（弓形高）例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．5、求角度例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ． 6、探究线段的最小值图3BA8mm图2图1B 图6 A 图5例6.如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．二、与圆有关的多解题在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1、点与圆的位置关系不唯一例1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。

2、弦与弦的位置关系不唯一例2.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 与CD 之间的距离是（ ）。

（A ）7cm （B ）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD ，使AD 等于1，并求出∠CAD 的度数。

3、点在直径上的位置不唯一例4．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点M 。

若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？4、弦所对圆周角的不唯一例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。

（A ）30°或60°（B ）60°（C ）150°（D ）30°或150° 5、圆与圆的位置关系不唯一例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）。

（A ）5cm （B ）11cm （C ）3cm （D ）11cm 或5cm 6、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一图7例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为。

分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。

三、巧证切线判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径．例1如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例2 如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙0相切于点B，过A作AD∥OC交⊙0于点D，连结CD.(1)求证：CD是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．四、“圆中辅助线”作法探究弦与弦心距，密切相连系.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.1、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线（作弦心距）.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.2、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,△ABD的外接圆交BC于E.求证:AD=EC.3、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.4、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt△ABC中,∠C=90º,BC是☉O的直径，AB交☉O于D，DE切☉O于D，交AC于E. 求证：OE∥BA.5、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例5 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.例6 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD 交小圆于B 、C 两点. 求证:∠APB=∠CPD.6、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系. 例7 已知:☉O 1与☉O 2相交于A 、B 两点,E 为☉O 1上的一点,EF 切☉O 1于点E,EA 、EB 的延长线交☉O 2于C 、D 两点. 求证:EF ∥CD.7、代数、几何的综合题型.例8 如图,在Rt △AOC 中，直角边OA 在X 轴负半轴上，OC 在Y 轴正半轴上，点F 在AO 上,以点F 为圆心的圆与Y 轴、AC 边相切，切点分别为O 、D,☉F 与X 轴的另一个交点为E.若tanA=34 ,☉F 的半径为32 .（1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.[练习]1．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．2．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=20㎝，求圆O 的半径.3．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDOE4．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.6．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．A CDO 1 O 2B . ....N7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.8．已知：图a ，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：（1）DC 是⊙O 的切线，（2）过D 点作DE ⊥AB ，图b 所示，交AC 于P 点，请考察P 点在DE 的什么位置？并说明理由.B图aB图b五、与圆有关的计算 ◆考点链接1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对的弧长为 .2. 圆的面积为 ，扇形面积公式：1°的圆心角所在的扇形面积为 ，（1）n°的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯；（2）弧长为L 的扇形面积是S 扇形=12RL ．3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长） 明确圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长． 圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积． ◆典例解析例1（黑龙江哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ）． A ．36π B ．48π C ．72π D ．144π例2（新疆）如图，已知菱形ABCD 的边长为1.5cm ，B C ，两点在扇形AEF 的上，求的长度及扇形ABC 的面积．BCD AE F例3（湖北襄樊）如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）◆中考演练 一、选择题1.（东营）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( ) A ．10cm B ．30cm C ．40cm D ．300cm2.(陕西)若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）A ．1.5 B ．2 C ．3 D ．63.（广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为（ ）A.125B.135C.1310D.13124.（济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2120cm 二、填空题1.450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D .E 在OB 上，点F 在弧AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .2.（长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．3.（浙江台州）如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 ．B 'A 'C AB 第3题第2题图C AB4. (湖北黄冈) 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_________． 三、解答题（湖南衡阳）如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ． （1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是243cm π，OA=2cm ，求OC 的长．六、阴影部分面积的求值技巧 求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例1 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算． 例2 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32例3 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( ) A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+-D ．2221a a π-3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例4如图所示，将半径为2 cm的⊙0分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点0对称，EF、GH关于点0对称，连结PM，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例5如图，C、D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例6 如图，CD是半圆0的直径，半圆0的弦AB与半圆O' 相切，点O' 在CD上，且AB∥CD，AB＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．折叠法例7如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0，其直径CD，EF均和x轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是______．七、数学思想方法与中考能力要求1、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．2、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．3、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况时，不能一概而论，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．4、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题转化为方程问题予以解决．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．5、函数思想例5如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC ＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．八、圆的基本解题思路：1、角度问题: a.通过弧来找角 b.等腰、全等、直角c.弦切角等于弦所对圆周角2、证明两弧相等或两弦相等：a、圆周角或圆心角相等b、两弦相等/两弧相等c、垂径定理，即弦心距相等3、求弦长：a.垂径定理 b.弦与直径构成的直角三角形c.弦与两半径构成的特殊三角形4、证明一条直线是圆的切线的方法： a.切点确定时，证明直线垂直于半径 b.切点不确定，证明圆心到直线的距离等于半径5、两圆相交： a.连接圆心与交点，利用弧的度数求解。