圆的解题技巧总结、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径 CD 对折，我们很容易发现 A B 两点重合，即有结论AP=BP 弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧.垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系， 是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据.例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1) 请你补全这个输水管道的圆形截面； (2) 若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm 水面最深地方的高度为 4cm,求这个圆形截面的半径.例3 如图，已知OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM 0P 以 及OO 上，并且/POM=4°，贝U AB 的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具?例2如图，PQ=3以PQ 为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点 P,正方形ABCD的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点Q,贝U AB=?二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解.1.忽视点的可能位置.例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2庐cm,贝卩/A的度数为__________________2.忽视点与圆的位置关系.例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________3•忽视平行弦与圆心的不同位置关系.例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是5 cm ,则梯形的面积是_________ .4.忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ .例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O 0与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ .三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点.判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1•圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径.例10 如图，P是/AOB的角平分线0C上一点，PDLOA于点D,以点P为圆心，PD为半径画O P,试说明0B是OP的切线.ALi2•证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可.例11 如图，已知AB为OO的直径，直线BC与O0相切于点B,过A作AD// 0C交O0 于点D,连结CD.⑴求证：CD是O0的切线；⑵若AD=2直径AB=6,求线段BC的长.四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，OO 为Rt△ ABC的内切圆，D E、F分别为AB AC BC边上的切点，求证：s ABC = AD BD .该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积.”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，O0为Rt△ ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD= 10, BD= 3,求AC和BC的长.例14 如图，△ ABC 中/A 与/B 互余，且它们的角平分线相交于点 0，又0吐AC OFL BQ 垂足分别为E 、F ，AC=10 BC = 13.求AE- BF 的值.五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系： 圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长. 例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的展开图的圆心角是（）A . 180°B . 90° C例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面 半径长的比是（）A.2:1B.2 n :1 C .、2 : 1 D . ..3 : 1例17如图，小红要制作一个高 4 cm,底面直径是 若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是（） A. 15 n cm? B . 6 JT3兀 cm i C . 12cm例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为__________ cmf .（不考虑接缝等因素，计算结果用n 表示）BIn6 cm 的圆锥形小漏斗,2D . 30 cm20 cm评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积.例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD BC=CD,AB= 2AD,/ ABC =Z ADB=90 .⑴求/C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC= a,求该圆锥的底面半径；⑶在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由.六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角•应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ ABC中，内切圆O I和边BC CA AB分别相切于点D E、F.求证：(1) . FDE =90 —丄• A -2 ，a A5. 平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积.例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆0相切，点0在CD 上，且 AB//CD AB= 4,例21如果△ ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,它的内切圆O I 半径为r ，那么△ ABC 勺面积为（）.A. (a b c)r B 12( a b C )rC. 2 (a bc ) r D3丄(a b - c ) r4七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解•但在转化 过程中又有许多方法•本文精选几个题，介绍几种常用方法.1.直接法当已知图形为熟知的基本图形时， 先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算.例22 如图，在矩形 ABCD 中, AB=1, AD= 3，以BC 的中点E 为圆M 心的 与AD 相切于点P,则图中阴影部分的面积为 （）A. - B . 3-. C . D .—34432. 和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或 差来计算.例23 如图，AB 和AC 是O0的切线，B C 为切点，/ BAC=60 , O0的半径为1,则阴影部分的面积是（）A. i3 -孑鳥 B . '、3C . 2-、3D . 2」3 —3 333. 割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积.例24 如图，正方形ABCD 勺顶点A 是正方形 EFGH 勺中心，EF=6 cm 则图中的阴影部分的面积为 __________________________________ .4. 等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面 积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积. 例25如图，C D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R,求阴影部分的面积.EA O B则阴影部分的面积是（结果保留n ）.6. 整体法例27如图，正方形的边长为 a ，分别以对角顶点为圆心， 边长为半径画弧， 则图中阴 &聚零为整法例29如图所示，将半径为2 cm 的O0分割成十个区域，其中弦AB CD 关于点0对称, EF 、GH 关于点对称，连结PM 则图中阴影部分的面积是 _____________________________ (结果用n 表示).八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容， 是中考必考内容•关于圆的大部分题目 常需作辅助线来求解•现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的OO 交于点 G B F 、E , GB=8cm, AG= 1 cm,DB 2 cm ，贝U EF= ______ cm.2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ ABC 中，/ C=90，以 BC 上一点0为圆心，以 0B 为半径的圆交 AB 于点M 交BC 于点N.⑴求证：AB BM =BC BN(2)如果CM 是O0的切线，N 为0C 的中点，当 AC = 3时，求 AB 的值.3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等影部分的面积是 ()A. -la 2—ra 2B .2(a 2 -1二a 2)2 44C. 「a 21 2 .a D2.a -1 2 a227. 折叠法如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0,其直径CD EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点 C E 和点D F ,则图中阴影部分的面积是 _______________例28 E角关系例32如图，AB AC分别是O0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O0 于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于P.⑴若PC= PF,求证：AB丄ED⑵点D在劣弧的什么位置时，才能使A D= DE- DF,为什么?4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，O0 2与半圆O内切于点C,与半圆的直径AB切于D,若AB=6 O0 2的半径为1,则/ ABC 的度数为__________________________ .C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂.因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用.一、数形结合思想.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，O0的半径是1，求AP+BP的最小值.二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知.例2 如图，以00的直径BC为一边作等边△ ABC AB AC交O0于D E两点，试说明BD=DE=EC在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量.所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论•分类必须遵循一定的原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重、不漏、最简.例3 O0的直径AB=2 cm,过点A的两条弦AC= 2 cm, AD= 3 cm,求/ CAD所夹的圆内部分的面积.在圆中有许多分类讨论的题目希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对, 对而不全”的现象.四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的.例4 如图，AB是O0的直径，点P在BA的延长线上，弦CDLAB垂足为E,且PC是OO 的切线，若0E:EA=1:2, PA= 6,求O0的半径.五、函数思想例5 (2005 •梅州市)如图，Rt△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BA=5,点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC= x,点P到AB的距离为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围.例6 (2006 •烟台)如图，从O 0外一点A作O0的切线AB AC,切点分别为B、C,且O0直径BD= 6,连结CD AO.(1)求证：CD// AO(2)设CD=x AO=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+C B 11,求AB 的长.。