[kπ,kπ+π2)(k∈Z).
规律技巧:因为本题是分段函数且周期为π,所以可考查在
(0,
)及 (-
,0)的单调性,然后根据周期,写出x在
定义2域内的单2调区间.
变式训练2:y=2tan(3x+ )的单调增区间是__________.
4
解析 :由k 3x k 得,
2
4
2
k x k (k Z ).
切曲线.正切曲线是由沿y轴的上、下两个方向无限伸展,并
被无穷多条与x轴垂直的直线x=kπ+
(k∈Z)隔开的无
穷多支曲线所组成的.这些直线x=kπ2+
(k∈Z)为正切
曲线的渐近线,在每两条这样的相邻2直线之间,曲线是连续变
化的,并且从左向右看是上升的.
(2)正切曲线草图的画法.
正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”
3
所以 k 2 , k Z.由于 ,
3
2
2
当k 1时, 2 .
33
错因分析:错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐
T , 这可以作为公式使用. ③关|于正| 切函数的单调性有下列命题:
命题一:正切函数y=tanx是增函数;
命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数;
命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间(
+kπ)
2
(k∈Z)内是增函数.
+kπ ,
2
应指出,只有命题三是真命题.
2.正切曲线
(1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正
34
3 12
单调增区间为( k , k )(k Z ).
3 4 3 12
答案 : (k , k )(k Z)
3 4 3 12
题型三 正切函数性质的应用
例3:(2005·全国Ⅱ)已知函数y=tanωx在(-
,
()
A.0<ω≤1
B.-1≤ω<0
C.ω≥1D.ω≤-1
)内是减函数,则
注意不到.比如,求y函数 1
的定义域,不仅要Biblioteka 虑tanx 1到tanx≠1,还要考虑到tanx自身的限制,于是有:
x k 且x k , k Z.
4
2
注意一定不能忽略后者.
②正切函数y=tanx的最小正周期为π,这一点也是与正弦函
数､余弦函数不同的.形如y=tanωx的函数的最小正周期
1.4.3 正切函数的性质与图象
自 学 导 引(学生用书P26)
由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质.
课 前 热 身(学生用书P26) 函数y=tanx的性质与图象见下表:
y=tanx
图象
定义域
值域 周期 奇偶性 单调性
x
|
x
k
2
,
k
Z
(-∞,+∞)
最小正周期是π
奇函数
在开区间_(_k___2__, k____2_)(_k__Z_上) 都是___增_函__数___
名 师 讲 解 (学生用书P26)
1.正切函数的性质 通过观察正切线､正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它的定义域､值域､周 期性､奇偶性和单调性. 对于正切函数的性质应注意以下几点:
①正切函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ+
,k∈Z},
这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同2,在解题中往往
题型二 求函数的单调区间
例2:写出下列函数的单调区间
(1)y=tan (
x
);
(2)y=|tanx2|. 6
分析:(1)用换元法,(2)用图象解.
解 : 1当k 1 x k (k Z ),
22 6
2
即2k 2 x 2k 4 (k Z )时, y tan( x )单调递增.
3
3
26
所求单调区间是(2k 2 , 2k 4 )(k Z ).
3
3
(2)y=|tanx|=
tanx,x∈[kπ2,kπ+
)(k∈Z),
-tanx,x∈(kπ-2 ,kπ](k∈Z).
可作出其图象(如下图),由图象知函数y=|tanx|的单调递减
区间为(kπ2-
,kπ](k∈Z),单调递增区间为
画出草图,“三点”是指(- ,-
1),(0,0),(
,1);“4两线”是指x=4-
2 ,x= 2 .在三点两线确定的情况下,可大致画出
正切函数在2(- 2 ,
)上的简图,然后向左､右
平移即可得正切曲线.
典 例 剖 析(学生用书P26)
题型一 利用正切函数的单调性比较大小
例1:比较tan(13 )与tan(17 )
22
解析:ω只是变换函数的周期并将函数的图象进行伸缩,若ω使函数在(-
,
)上递减,则ω必须小于0,而当|ω|>1时,图象将缩小周期,故-
1≤ω<0.
22
答案:B
变式训练3 : 与函数y tan(2x )的图象不相交的一条直线是
4
A.x
2
B.x
2
C.x
8
D.x
8
解析 :当x 时, 2x , y tan(2x )无意义,
8
42
4
故x 与函数的图象不相交,故应选D.
8
答案:D
易 错 探 究(学生用书P27)
例4 : 若y tan(2x )图象的一个对称中心为( , 0),
3
若 ,求的值.
2
2
错解 :因为函数y tanx图象的对称中心为(k , 0),
其中k Z,所以2x k ,其中x .
25 5 2
在区间( , )上是增函数,tan tan 2 .
22
5
5
(2) tan(3 ) tan( 3) tan3,tan(2 ) tan2,
又 2 3 1 ,
2
2
而y tanx在( , )内单调递增,
22
tan(2 ) tan(3 ) tan1,即tan2 tan3 tan1.
54
5
4
5
4
即tan( 13 ) tan( 17 ).
4
5
规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间时,要用诱 导公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公 式化成同名函数.
变式训练1:比较下列各组数的大小.
(1)tan 与tan 2 ;
(2)tan51,tan2,t5an3.
解 : 1 2 ,而y tanx
4
5
的大小.
分析:利用诱导公式化为同一单调区间上的正切函数,利用正切函数的单调 性比较大小.
解 : tan( 13 ) tan(3 ) tan ,
4
4
4
tan( 17 ) tan(3 2 ) tan 2 ,
5
5
5
而 2 ,tan 2 tan .tan 2 tan ,