北京工业大学2007-2008学年第二学期期末
线性代数（工）
课程试卷（A ）
注：本试卷共 8大题，满分100分.
得分登记（由阅卷教师填写）
考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日
学号
姓名
成绩
得分
.填空题（每小题 3分，共30 分）.
'
1
0 0、 1 2 3 4 ]
1.矩阵乘积
0 1 0 5 6 7 8
13
0 1(9 10 11 12丿
2. B 满足AB 二A • B ，则A - E 可逆，且（A - E ）
3. 如果2阶方阵A 的特征值是1, -1 , A 为其伴随矩阵, 则行列式
*
4. :
'1 设3维列向量组［忙匕，：/和「，：2满足?
2
,：'3
〉1,〉2「3
构成的矩阵
（写出具体数值）
5. 如果
P -3 1
2
P 9
=0 ,而且p 0，则p 二 bx &y - -1
6. 如果实系数方程组
b 2x Q >^0有实数解，则行列式
b 2 b 3 C 2 C 3
设n 阶方阵A
7.
设‘1 一1,‘2 =0是实对称矩阵A的特征值，〉=（2,t 2,1）T，― （1 t ,匕2）是分别属于-1,1的特征向量，贝U t二
8.如果〉=（1,1,-1）T
是实方阵A 的一个特征向量，则 2A 2
-3E 必有一个特征向量等于
如果n 阶实矩阵A 满足A 3
-0，E 是n 阶单位矩阵，则
【 】
（A ） A E 可逆，但A - E 不可逆 （B ） A E 不可逆，但 A - E 可逆
（C ）A
E 、A-E 都可逆 （D ）A E 、A-E 都不可逆
（A ） 当线性方程组 AX 二b 无解时，行列式 A=0。

（B ） 当线性方程组 AX 二b 有无穷多组解时，行列式 A=0。

（C ）
当行列式 A=0时，线性方程组 AX=b 无解。

（D ）当线性方程组 AX=b 有唯一解时，行列式 AH0 。

5
-1 -1 )
‘2 0 0、
4.矩阵
—1 1 -1 和 0
-1 0 的关系
是
<_1 -1 1丿
<0 0 2丿
(A ) 相似但不等价
(B ) 相似而且等价 (C )
不相似但等价
(D )
既不相似也不等价
广0
、
广2 3
3
10
・二次型（人公2卞3） 1 1
-2
曰4
-b
的正惯性指数与负惯性指数之和是
2.如果向量组〉1,〉2,〉3,〉4线性无关，而且其中的每一
个向量都与向量
-正交，则向
量组用
,〉2「3,〉4,-
【
】
(A) 定线性相关
（B ） 疋线性无关
（C ） 可能线性相
关， 也可能线性无关
（D ）
前三个选项都不止确
3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是
【 】
9. 如果
1
3 2.2
~3~
是正交矩阵，则a =
1
3>
共15分）。

将正确答案的字母填入括号内 。

单项选择题（每小题
5.实矩阵 A = a2十1 0 0 ，则【
0日2+1 0
、一
（A）A能够相似对角化
（C）无确定结论
（B）A不能相似对角化
（D）前三个选项都不正确
三.（10分）设实矩阵
1 得分 a b c d
□M = —b a -d c
—c d a -b
-d -c b a
,（1）计算MM T ; （2）计算行列式M
四.（10分）将可逆矩阵0
<0
-2 1
0 1分解成初等矩阵乘积的形式。

1 °」
五.（10分）参数b取何值时，线性方程组
^-4x2 6X3 -9x4 _ -5 □
* 2捲+ x2+ 3x3 = b
—X i + 3x? — 5X3 + 7 X4
= 4
有解？有解时，求出方程组的通解（向量形式）
-1 —「
1 -1 。

求可逆矩阵P ，使得P^AP 为对角矩阵；并
-1 1」
六.（10分）设矩阵A = —1 <-1
□
写出相应的对角矩阵。

>1 =（1,一1,1”，： 2 = （2,0, 2, —1几：3 =（0,-1,0, -1几：4 = （3,-
3,3,-2）丁 。

（1 ）求该向量组的一个极大线性无关组。

（2 ）把其余向量用该极大线性无关组线性表出。

（5分）设A 是实m n 型矩阵，［是m 维列向量。

证明:
总是有解的。

（提示：秩r （A T
AHr （A ））
七（10分）设向量组
方程组 A T
AX 二A
T 1
□。