南昌大学2007～2008学年第二学期期末考试试卷
12,m α（ 线性相关 可能线性相关，也可能线性无关阶方阵，下列各式中成立的为（11A B --= 0，则A =
南昌大学07～08学年第二学期线性代数期末考试（A 卷）评分标准
一1 2 3
4 5
____________________
22
-<<32
72
-37
22
αα=-
五、方法（一）
1A =- ------------------3分
1121
31112223213233311A A A A A A
A A A A
A A A -⎡⎤
⎢⎥∴=
*=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
--------------5分 1
431
431
531531
6
4164---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
--------------11分 方法（二）
223
100110010110
010*********
001223100-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
--------2分 110010011011043120-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 110010011011001164-⎡⎤
⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦ --------6分 110010100143010153010153001164001164---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ --------10分 1143153164A ---⎡⎤
⎢⎥∴=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
-------------------11分 六、对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：
[]1
212012120,2
11110515131210515A b λλ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ --------2分 1
21200
51510
001λ--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
-------------------4分 由此可见：
()1当1λ≠时， ()2R A =，[](),3R A b =
此时原方程组无解。

-------------------5分 ()2当1λ=时，()[](),24R A R A b ==<（未知量的个数） 此时原方程组有无穷多个解。

-------------------6分
当1λ=时，阶梯形矩阵为：1212
0130310515
1051510000
000000---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
----7分
1010η*⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 13150ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 230
51ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
-------------------10分
一般解是：1122x k k ηξξ*=++（12,k k 为任意实数） ---------11分
七、1
2112
1
1
5
3
E A λλλλ----=
-+--=()()()2110λλλ-+-= ------2分
解得特征值为：12λ=，21λ=，31λ=- ---------3分 对应于12,λ=根据()0E A X λ-=，有
123123123204050x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，即1323
30x x x x x
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 取31x =，则易求得121,0x x ==。

得基础解系为()1,0,1'，
∴A 的属于特征值12λ=的全部特征向量为()11,0,1k '，
（其中1k 为任意非零常数） ---------6分 对应于21,λ=根据()0E A X λ-=，有
23123
1232030520x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，即12
223
22x x x x x x
=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 取21x =，则易求得131,2x x ==-。

得基础解系为()1,1,2'-
∴A 的属于特征值21λ=的全部特征向量为()21,1,2k '-
（其中2k 为任意非零常数） ---------9分 对应于31,λ=-根据()0E A X λ-=，有
1231231
232200540x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，即13
23331434x x x x x x ⎧
=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
取34x =，则易求得131,3x x ==-。

得基础解系为()1,3,4'-
∴A 的属于特征值31λ=-的全部特征向量为()31,3,4k '-
（其中3k 为任意非零常数） ---------12分
八、 ||(1)(2)00,1,2E B λλλλλλ
λ-=--=⇒=== ---------2分
A 与
B 相似，∴E A E B λλ-=- ---------4分
当10λ=时，有()20E A λαβ-=-=，
即0αβ-= ---------()1 ---------5分 当21λ=时，有20E A λαβ-=-=， 即0αβ= ---------()2 ---------6分 当32λ=时，有()20E A λαβ-=-+=， 即0αβ+= ---------()3 ---------7分 由()1、()2、()3知：0αβ== ---------9分 九、由B E AB =+知()E A B E -= ---------2分
从而E A -可逆，()1B E A -=- ---------3分 由C A CA =+知()C E A A -=，()1
C A E A -=- ---------5分 从而()()11B C E A A E A ---=--- ()()1E A E A E -=--= ---------7分。