周期
自主测评
1.下列现象不是周期现象的是( ) D A．地球围绕太阳转 B．地球自转 C．星期 D．人的一生
2．下列现象是周期现象的有( ) D ①候鸟迁徙；②24小时为一天；③某一路口的红
绿灯每30秒转换一次；④每年六月7、8号高考
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知奇函数f(x)是以5为周期的周期函数，f(－
变式4：已知奇函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1且 f(x)是以3为周期的周期函数，
求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)．
点拨：先求出一个周期内各项之和，再利用周 期性求解
解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)是以3为周期的周期函数且 f(1)＝1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－1，பைடு நூலகம்又f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－1， f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0 ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝1－1＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015) ＝671×0＋f(2014)＋f(2015) ＝f(3×671＋1)＋f(3×671＋2) ＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1－1＝0.
y
f(-1)= 0 ；
1
f(0)= 0 ； ……
……
f(1)= 0 ； -2 -1 0 1 2 3 4 x
……
f( n )= 0 ；
(2)f(-1.5)=0.5 ；f(0.5)=0.5 ；…… f(0.5+n )= 0.5
问题1：你能用数学语言描述这个函数的特征
吗？
f(x+1)=f(x)
f(x+n)=f(x)
第一章 三角函数 §1 周期现象
教师点拨
每隔相同的时间就会出现相同的现象，这种现象 称为周期现象．我们生活在周期变化的世界 中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周 期地运动；时间在年复一年，日复一日地逝 去，所有的生物都会生老病死等．总而言之， 周期现象在现实生活中有着广泛的应用.
自主学习
每隔一段时间会重复出现的这种现象称为 ________．潮汐是________现象，地球上一年 周春期夏现秋象 冬四季的变化周期、钟表的分针每小时转一 圈等，这些都是________现象．
解：由题意知，这些数在排列时每行6个数，且奇数行的 数字，从左向右依次增大，偶数行从右向左依次增 大，呈周期性．
而2014＝335×6＋4，
∴2014为第336行从左向右第3个数．
规律技巧：抓住每行中数的规律是解决此类问题的关
键．
例3 已知函数y=f(x),x∈R图像如图所示：
(1)f(-2)= 0 ；
点拨：欲看这些现象是不是周期现象，关键是看它是否 满足周期现象的概念．
解 ： (1) 因 为 每 隔 一 年 ， 春 天 就 重 复 一 次 ， 因 此 “春去春又回”是周期现象，一年是它的周 期；(2)奥运会每隔四年就重复一次，因此开奥 运会为周期现象，4年是它的周期；(3)设第一个 小朋友第一次说出的数为a1，第二个小朋友说 出的数为a2，第一个小朋友第二次说出的数为 a3，第二个小朋友第二次说出的数为a4，…，则 a1＝1，a2＝2，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝1－ 2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2，a6＝a5－a4 ＝1们规 看，律该说－a技现出28＝－巧象的a：是(－7数－否判1字断每a)＝6呈某隔＝－一种现2…1段现周，象时，期a是间7每性＝就否隔，a为重66－6周复次是a期出重5它＝现现复的象一－一一，次1－回关个键(，周－要故期2)；他＝ (4)买单价为10元的商品x件，共消费10x元，不
变 式 训 练 1 ： 今 天 是 星 期 日 ， 则 500 天 后 是 星 期 几？
解：由于星期具有周期性，7是一个周期， 而500＝7×71＋3， ∴500天后是星期三．
题型二 周期现象的应用 例2： 1,2,3,4,5,6 12,11,10,9,8,7 13,14,15,16,17,18 24,23,22,21,20,19 25,26，… 问2014是第几行第几列的数？ 点拨：利用周期性解题．
例4.已知定义在R上的奇函数f(x)是以2为周期 的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：∵f(x)为奇函数，且以2为周 期， ∴f(0)＝f(2)＝0， f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， 又f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.
题型一 周期现象的判定
例1：判断下列现象是不是周期现象，若是，说明其周期．
(1)春去春又回；(2)奥运会每四年举办一次；(3)两个小朋友玩数字 游戏，第一个小朋友第一次说了一个1，第二个小朋友说了一个 2，然后每个人说出前一轮中对方说出的数与自己说出的数的 差，依次类推，它们说出的数字；(4)某人买单价为10元的商品x 件．
1)＝1，则f(－4)等于( )
A．1
B．－1 B
C．6
D．－5
解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝1，∴f(1)＝－ 1， 又f(x)是以5为周期的周期函数． ∴f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝－1，故选B.
4．今天星期六，再过21天是( ) A
A．星期六
B．星期日
C．星期五
D．星期一
典例剖析
规律技巧：已知函数的周期性求某些连续项的 和，应先求一个周期内各项的和，再看这些项 有多少个周期，余下几项，再利用周期性求 和．
周期概念
• 对于函数y=f（x），如果存在一个不为 零的常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么 就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为 零的常数T叫做这个函数的周期。事实上 ，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它 的周期。如果在所有正周期中有一个最 小的，则称它是函数f（x）的最小正周 期。