三角函数的周期性_课件
1.周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个 非零 常数T,使得
定义域内的每一个x值 ,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周
期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(周期函数f(x)的周期不唯一,kT,
(k∈Z,k≠0)都是它的周期),对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期
5.函数y=cos
的单调递增区间为________.
解析:函数y=cos
=cos
,
∴y=cos
的单调递增区间就是y=cos
的单调递增区间,
由下式确定:2kπ-π≤x- ≤2kπ,
k∈Z.∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z,
即函数y=cos
的单调递增区间是
,k∈Z.
答案:
,k∈Z
从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调的是自变量x本身加的常数才是周期,如
【知识拓展】 余切函数图象和性质 函数y=cot x的图象如图所示,
(1)定义域:函数y=cot x的定义域为{x∈R且x≠kπ,k∈Z} (2)值域:函数y=cot x的值域为R. (3)周期性:函数y=cot x是周期函数,周期为π. (4)奇偶性:y=cot x是奇函数,图象关于原点对称. (5)单调性:y=cot x在每一个开区间(kπ,kπ+π),k∈Z内都是减函数.
上某处的函数值.
解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴
,
又f(x)为偶函数,∴
,
∵当x∈
时,f(x)=sin x,∴
答案:
变式1:(苏北四市联考)如图,函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)一个周期的图 象,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值等于________. 解析:由题图知f(x)的周期为8,∴ =8,∴ω= .又A=2, ∴f(x)=2sin x.又f(4)=0,f(2)+f(6)=0,f(3)+f(5)=0, 原式=f(1)=2sin =2× = . 答案:
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性 最小正周期为2π
最小正周期为2π
最小正周期为π
单调性
在[- +2kπ, +2kπ]内递增(k∈Z); 在[ +2kπ, +2kπ]
内递减(k∈Z)
在[-π+2kπ,2kπ]内 递增(k∈Z);在[2kπ, π+2kπ)内递减(k∈Z]
在开区间(- +kπ, +kπ),(k∈Z) 内,函
数单调递增
思考:函数y=Atan (ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0) 的周期T为多少? 提示:T= .
1.(2010·淮安市四星级高中数学学科学习能力评价测试)已知函数f(x)
=cos
(ω>0)的最小正周期为 ,则ω=________.
答案:10
2.函数y=-cos x的图象与余弦函数的图象关系为__________. 答案:关于x轴对称
三角函数的周期性、 三角函数的图象与性质
1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性. 2.会用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. 3.理解三角函数的性质,并能利用性质求定义域、值域、周期、判断
奇偶性,求单调区间及最值、对称轴、对称中心.
【命题预测】 1.近几年高考加强了对三角函数的图象和性质的考查,因此三角函数的 图象和性质是高考复习的一个重点.三角函数的复习应充分利用数形结 合的思想方法,即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的 性质,同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象,揭示图象的代数本质. 2.三角函数的图象和性质是解决实际生产问题的工具,而且近年来高考降低 了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度, 从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点,是三角解答题的主要题 型, 具有一定的灵活性和综合性.
1.准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础. 2.形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把
ωx+φ看作一个整体,由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z) 求得函数的增区间,由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z) 求得函数的减区间. 3.形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x的系 数变为正数,得到y=-Asin(ωx-φ), 由- +2kπ≤ωx-φ≤ +2kπ(k∈Z)得到函数的减区间, 由 +2kπ≤ωx-φ≤ +2kπ(k∈Z)得到函数的增区间.
基本的正弦、余弦函数来处理. 3.三角函数单调区间的确定,一般先将函数化为基本三角函数标准式,然后通过
同解变形或利用数形结合的方法求解.若对函数利用描点画图,则根据图形的直 观性可迅速获解.对复合函数的单调区间的确定,应明确对复合过程中的每一个 函数而言,“奇数个减则减,偶数个减则增”.
【高考真题】
【例4】求函数y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值. 思路点拨:对于较为复杂的三角函数在求最值时,我们一般先化简其形 式,再按照相关方法进行求解. 解:y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x=7-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin 2x+4cos2xsin2x=7-2sin 2x+sin22x=(sin 2x-1)2+6. 由于函数z=(u-1)2+6(u=sin 2x)在[-1,1]中的最大值 zmax=(-1-1)2+6=10,最小值zmin=(1-1)2+6=6. 故当sin 2x=-1时,即x=kπ- ,k∈Z,y取得最大值10; 当sin 2x=1时,即x=kπ+ ,k∈Z,y取得最小值6.
1.三角函数的定义域是使三角函数有意义的x的取值范围,解题时 要注意和周期性相结合. 求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象.
2.求较复杂的三角函数的定义域、值域时,有时需要先将解析式化 简.这时应注意化简前后定义域的变化,并注意这种变化是否会影 响我们对结论的判断.
【例2】求下列各函数的定义域:
(1)y=
;(2)y=
解:(1)函数y=
有意义时,1-cos x≠0,即cos x≠1,
所以x≠2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为{x|x≠2kπ,x∈R,k∈Z}.
(2)要使函数有意义,必须
由图知道,
函数的定义域为
(k∈Z).
变式2:函数y= 解析:由 即x∈ 答案:
+lg(2sin x-1)的定义域为______. ,得 ,k∈Z. ,k∈Z
【例5】(2009·北京卷)已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间
上的最大值和最小值.
分析:根据诱导公式和二倍角的正弦公式将函数解析式变换为
一个角的三角函数,然后根据三角函数的基本性质解决.
规范解答:(1)因为f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin xcos x=sin 2x, 所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由 得- ≤2x≤π, 所以- ≤sin 2x≤1. 即f(x)的最大值为1,最小值为
中存在一个最小的正数就叫做它的
正周期.
2.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且 A≠0,ω>0)的周期T= .
3.三角函数的图象和性质 y=sin x
图象
y=cos x
y=tan x
定义域
R
R
{x|x≠ +kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
f(2x+T)=f(2x),T不是周期,而应写成f(2x+T)=f
=f(2x),
则 是f(x)的周期.
【例1】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,
且当x∈
时,f(x)=sin x,则f =________.
思路点拨:利用函数的周期性及奇偶性把 处的函数值转化为
∴函数的单调减区间是
(k∈Z).
(2)y=sin
可写成y=-sin
,
由
(k∈Z)
得
,∴函数的单调减区间为
(k∈Z).
求三角函数最值的常用方法有:(1)配方法(主要利用二次函数理论及三角 函数的有界性);(2)化为一个角的三角函数(主要利用和差角公式及三角函 数的有界性);(3)数形结合法;(4)换元法;(5)基本不等式法等. 三角函数的最值都是在给定区间上取得的,因而特别要注意题设 中所给出的区间. (1)求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换, 要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性. (2)含参数函数的最值问题,要注意参数的作用和影响.
(2)解法一:因为f(x)=
在区间上
为增函数,在区间上为
减函数,又
故函数f(x)在区间
上的最大值为 ,最小值为-1.
解法二:作函数f(x)=
在长度为一个周期的区间
上的
图象如图所示.由图象得函数f(x)在区间
上的最大值为 ,
最小值为f
=-1.
【规律方法总结】
1.画周期函数的图象,先确定一个周期内的图象,再确定整个定义域内的图象. 2.利用三角函数性质解决问题时要重视化归的思想,即将复杂的三角函数转化为
【应试对策】 1.用“五点法”.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域.求定义域 时,若需先把式子化简,一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化. 2.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离 不开图象,很多函数的性质都是通过观察图象而得到的. 3.三角函数的性质包括值域、周期性、奇偶性、单调性和最值等,其中以单 调性、最大和最小值最为突出.此外近两年也出现了奇偶性的问题,更深刻 地考查学生对图象性质的理解.