分离参数法解高考压轴题新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。

而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。

“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。

此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。

下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。

一 洛必达法则介绍如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(limx g x f x x →或)()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞∞． 1．（洛必达法则1）型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件（1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→)()(lim（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）．把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．2（洛必达法则2）∞∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或无穷大）． 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00（或为无穷大） 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立． 二 典型例题: 例1．（08江苏理14）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4例1 （2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为),0(+∞. xa ax ax x a x f 1221)(2++=++='. 当0≥a 时，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增； 当1-≤a 时，0)(<'x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递减；当01<<-a 时，令0)(='x f ，解得aa x 21+-=.则当)21,0(a a x +-∈时，0)(>'x f ；),21(+∞+-∈aa x 时，0)(<'x f . 故()f x 在)21,0(a a x +-∈单调递增，在),21(+∞+-∈aa x 单调递减. （Ⅱ）分离变量法：不妨假设21x x ≥，而1-<a ，由（Ⅰ）知在),0(+∞单调递减，从而),0(,21+∞∈∀x x ，||4|)()(|2121x x x f x f -≥- 等价于),0(,21+∞∈∀x x ，22114)(4)(x x f x x f +≥+ ①令x x f x g 4)()(+=，则421)(+++='ax xa x g ① 等价于)(x g 在),0(+∞单调递减，即0421≤+++ax xa 恒成立。

从而212)12(1224)12(1214222222-+-=+---=+--≤x x x x x x x a ，故a 的取值范围为]2,(--∞ 评述：本题第二问利用分离变量，所构造函数的最大值存在。

例2（2007全国一）设函数xxe e xf --=)(．（Ⅰ）证明：)(x f 的导数2)(≥'x f ；（Ⅱ）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）xxee xf -+=')(由于22=⋅≥+--x x x x e e e e ，故2)(≥'x f ，（当且仅当0=x 时，等号成立）． （Ⅱ）分离变量法：即对所有0≥x 都有ax e e xx≥--，① 若,0=x 则R a ∈② 若0>x ，则只需a x e e x x ≥--， 记x e e x x x --=)(g ，2)1()1()(xx e x e x g x x ++-='-， 记 )1()1()(++-=-x ex e x xxϕ，则0)()(>-='-x e e x x x ϕ，故)(x ϕ递增，而0)0(=ϕ，故0)(>x ϕ，从而0)(>'x g 故)(x g 递增，由洛比达法则知：2)(lim lim00=+=--→-→x x x xx x e e xe e ，2≤a 评述：所构造的函数在0=x 的最小值不存在，所以需要用洛比达法则。

例3（2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围．解：分离变量法 ①若0=x ，则R a ∈.②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++≤，则min ])1ln()1([xx x a ++≤。

令x x x x g )1ln()1()(++=，2)1ln()(x x x x g +-='令)1ln()(+-=x x x h ，则01)(>+='x xx h ，故)(x h 为增函数，0)0()(=>h x h ，从而0)(>'x g ，)(x g 为增函数，)0(g a ≤，可是)0(g 不存在，只能求极限， 由洛比达法则得，1))1ln(1(lim ])1ln(1[(lim )1ln()1(lim 000=++=''++=+++++→→→x x x x x x x x x x ），故1≤a .例4（2010新课标全国）设函数21)(ax x e x f x---=。

（Ⅰ） 若0=a ，求()f x 的单调区间； （Ⅱ） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围解：（Ⅰ）0=a 时，x e x f x --=1)(，1)(-='xe xf .当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x f ；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x f .故)(x f 在)0,(-∞单调减少，在),0(+∞单调增加（Ⅱ）分离变量法 即当0x ≥时21ax x e x≥-- ①若0=x 则R a ∈②0>x ，只需a x x e x ≥--21，记21)(x x e x g x --=，则42222)(x xx xe x e x g x x ++-='记x x xe x e x xx22)(22++-=ϕ，则222)(2++-='x e x e x xxϕ，222)(2+-+=''x x x e xe x e x ϕ，0)4()(2>+='''x x e x x ϕ，故)(x ϕ''递增，而0)0(=''ϕ，0)0(>''ϕ，)(x ϕ'递增，0)0(='ϕ，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，而0)0(=ϕ，故0)(>x ϕ，从而0)(>'x g ，故)(x g 递增，由洛比达法则知：=→)(lim 0x g x 212lim 21lim 1lim0020==-=--→→→x x x x x x e x e x x e ，故21≤a例5 （2011年新课标全国理）已知函数xbx x a x f ++=1ln )(，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为032=-+y x 。

（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）如果当0>x ，且1≠x 时，xkx x x f +->1ln )(，，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）22)1()ln 1()(x b x x x x a x f -+-+='由于直线032=-+y x 的斜率为21-，且过点)1,1(， 故⎪⎩⎪⎨⎧-='=21)1(1)1(f f 解得1,1==b a 。

解法一：（参考答案）（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。