107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
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∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
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[一点通]
(1)组合数公式 Cmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1
体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体
的组合数时会用到．
(2)组合数公式 Cmn ＝m！nn！ －m！的主要作用：一是
计算 m，n 较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的
式子进行变形和证明．另外，当 m>n2时，计算 Cmn 可用性
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问题 3：你能得出计算 C24的公式吗？ 提示：能．因为 A24＝C24A22，所以 C24＝AA2422. 问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数． 提示：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．
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问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？ 提示：可以，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列 数可由以下两个步骤得到： 第一步，从这 n 个不同元素中取出 m 个元素，共有 Cmn 种不同的取法； 第二步，将取出的 m 个元素全排列，共有 Amm种不同 的排法． 由分步乘法计数原理知，Anm＝Cmn ·Amm，故 Cmn ＝AAmnmm.
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[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定 取出的元素是否与顺序有关．
[精解详析] (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次 并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队 得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表 是有顺序区别的．
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从1,3,5,7中任取两个数相除． 问题1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A42＝4×3＝12 个． 问题2：如何用分步法 C24种方 法；第二步，将每个组合中的两个数排列，有 A22种排法．由 分步乘法计数原理，可得商的个数为 C24A22.
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1．组合 (1)一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元 素 并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一 个组合． (2)如果两个组合中的元素 完全相同 ，那么不管元素 的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素不 同时，才是不同的组合．
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2．组合数 从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素 的组合数，用符号 Cmn 表示.
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组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
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1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
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[例1] 判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这 次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军 获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种 选法？
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[一点通] 要区分排列与组合问题，先确定完成的是 什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是 排列，与顺序无关的是组合．
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1．已知下列问题： ①全班挑10人组成合唱队； ②全班选5人分别担任班委会的5种职务； ③5本不同的书分给5名同学，每人一本； ④3本相同的书分给5名同学，每人最多得一本； ⑤从数字1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取两个不同的数字作为 点的纵、横坐标． 其中属于组合问题的是________． 解析：①④属于组合问题，②③⑤是与顺序有关的问题， 是排列问题． 答案：①④ 返回
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[精解详析]
(1)
原
式
＝
C
4 10
－
A
3 7
＝
10×9×8×7 4×3×2×1
－
7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明：mCmn ＝m·m！nn！－m！＝m－n1·n！－n1－！m！
＝n·m－1n！－1n！－m！＝nCmn－－11.
(3)∵C1m5 －C1m6 ＝m！55！－m！－m！66！－m！，
1.2
1.2.2
第一
第
课时
一 组合与
章 组合数
公式及
组合数
的两个
性质
理解教材 新知
把握热点 考向
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
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1．2.2 组 合
第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
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从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘． 问题1：所得商和积的个数相同吗？ 提示：不相同． 问题2：它们是排列吗？ 提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不 是排列．
2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有 不同的组合．
解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序 排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出 来，如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
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[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)证明：mCmn ＝nCmn－－11； (3)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [思路点拨] (1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出 m的值，再进行计算．