第十二章 电磁感应 电磁场（一）一．选择题[ A ]1.（基础训练1）半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60︒时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是：(A) 与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】[ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】dt dI LL -=ε，在每一段都是常量。

dtdI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B ϖ平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为(A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =221l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =221l B ω (D) =2l B ω，U a – U c=221l B ω-【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中0d d =Φt，所以0=ε。

2012cL a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→⎛⎫-=-=-=-⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。

当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为：(A))11(220r a a R Ir +-πμ (B)ar a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：td d Φ=εB ϖab clωaIroR q 21φφ-=感应电流为：tR Ri d d 1Φ==ε则沿导线环流过的电量为：∆Φ=⋅Φ==⎰⎰Rt t R t i q 1d d d 1daR Ir R r a I R S B 212120200μππμ=⋅⋅=⋅∆≈［ C ］6.（自测提高4）有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r 1和r 2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为1和2．设r 1∶r 2=1∶2，1∶2=2∶1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L 1∶L 2与磁能之比W m 1∶W m 2分别为：(A) L 1∶L 2=1∶1，W m 1∶W m 2 =1∶1． (B) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶1． (C) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶2． (D) L 1∶L 2=2∶1，W m 1∶W m 2 =2∶1． 【解析】自感系数为l r n V n L 222πμμ==，磁能为221LI W m =［ B ］7.（附录C3）在圆柱形空间内有一磁感应强度为B ϖ的均匀磁场，如图所示，B ϖ的大小以速率dB/dt 变化。

有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab ）和2（b a ''），则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为(A)012≠=εε (B).12εε>(C) 12εε<(D)012==εε【解析】ab oab dB S dt ε∆=，a b oa b dB S dtε''''∆= 因为 oa b oab S S ''∆∆>，所以a b ab εε''>.二. 填空题8.（基础训练9）一自感线圈中，电流强度在 0.002 s 内均匀地由10 A 增加到12 A ，此过程中线圈内自感电动势为 400 V ，则线圈的自感系数为L =L =__0.4H__。

【分析】L dILdt ε=- HL L4.0002.01012400=--=-9.（基础训练14）载有恒定电流I 的长直导线旁有一半圆环导线cd ，半圆环半径为b ，环面与直导线垂直，且半圆环两端点连线的延长线与直导线相交，如图。

当半圆环以速度沿平行于直导线的方向平移时，半圆环上的感应电动势的大小为0ln 2I a bv a bμεπ+=-。

【解析】=0d dtϕε=-i a a'Ob b'l 0⊗B ϖ00ln 22da b cd cd ca b I I a b v B d l v dx v x a b μμεεππ→→→+-+⎛⎫==⨯⋅=-=- ⎪-⎝⎭⎰⎰10.（基础训练15）如图12-20所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t 秒末导线两端的电势差=-N M U U ala Igt +-ln 20πμ 【解析】金属杆MN 两端的动生电动势为：()00ln22N a l MN M a I Igt a lv B dx v dx x a μμεππ++=⨯⋅=⋅⋅=⎰⎰v v v所以金属杆MN 两端的电势差为：0ln2MN MN Igt a lU a μεπ+=-=-11.（基础训练16）如图12-21所示，aOc 为一折成∠形的金属导线(aO =Oc=L )，位于xy 平面中；磁感强度为B ϖ的匀强磁场垂直于xy 平面．当aOc以速度v ϖ沿x 轴正向运动时，导线上a 、c 两点间电势差U ac =θsin Bvl ；当aOc 以速度v ϖ沿y 轴正向运动时，a 、c 两点的电势相比较, 是___a__点电势高．【解析】当沿x 轴运动时，导线oc 不切割磁力线，c o U U =， θsin Bvl U U ao oc ==当沿y 轴运动时，Bvl U oc =，oc oa U Bvl U <=θcos 所以a 点电势高。

12.（自测提高9）如图所示，一半径为r 的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径为a （r a >>）的大金属圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流I ，方向如图，如果小圆环以匀角速度ω绕其任一方向的直径转动，并设小圆环的电阻为R ，则任一时刻t 通过小圆环的磁通量φ=；小圆环中的感应电流i =。

【解析】)cos(2cos 20t r a I μBS ωπθ==Φ)sin(2120t Ra r I μdt d ΦR I ωωπ=-=13．（自测提高10）在一个中空的圆柱面上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′(如图)．已知每个线圈的自感系数都等于0.05 H ．若a 、b 两端相接，a ′、b ′接入电路，则整个线圈的自感L =_0_．若a 、b ′两端相连，a ′、b 接入电路，则整个线圈的自感L =__0.2H _． 若a 、b 相连，又a ′、b ′相连，再以此两端接入电路，则整个线圈的自感L =_0.05 H __． 【解析】a a ′ bM N alxv ϖB ϖ x v ϖ c a θ×××××××××图12-21a 、b 两端相接，a ′、b ′接入电路，反接，21212L L L L L -+=； a 、b ′两端相连，a ′、b 接入电路，顺接，21212L L L L L ++=；a 、b 相连，又a ′、b ′相连，再以此两端接入电路，不变。

三. 计算题14.（基础训练18）如图12-26所示，一长直导线，通有电流I ，在与其相距处放有一矩形线圈，共N 匝。

线圈以速度v 沿垂直于长导线的方向向右运动，求： （1） 如图所示位置时，线圈中的感应电动势为多少？（2） 若线圈不动，而长导线通有交变电流),(100sin 5A t I π=线圈中的感应电动势为多少？【解析】（1）无限长直导线的磁感应强度为02IB rμπ=考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=， 则：12εεε=-=)(2)11(200a d d Ilav N a d d Ilv N +=+-πμπμ。

(2) 无限长直导线的磁感应强度为02IB rμπ=则矩形线圈内的磁通量为：0000ln sin ln222d adI I l I l d a d al dr t r d dμμμωπππ+++Φ=⋅==⎰， ∴00cos ln 2N I l d d aN t dt dμεωωπΦ+=-=-。

),(100sin 5A t I π=dad t l N i +-=ln100cos 2500πμε。

15.（自测提高13））如图12-31所示，长直导线AB 中的电流I 沿导线向上，并以d I /d t =2 A/s 的变化率均匀增长．导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示．求此线框中产生的感应电动势的大小和方向．(=4×10-7 T ·m/A)【解析】如图建立坐标系，则直角三角形线框斜边方程为20.2y x =-+在x 处取一宽度为dx 的小面元，则阴影面积为dS=ydx ，此处的磁感应强度为()020.05IB x μπ=+，穿过直角三角形线框所围面积的磁通量为()()0.10.1000020.220.0520.05SI I x B dS ydx dx x x μμππ-+Φ=⋅==++⎰⎰⎰⎰r r000.10.150.15ln0.05IIμμππ⨯⨯=-+82.5910 ()I Wb -=⨯ 三角形线框中的感应电动势的大小为882.5910 5.1810d dIV dt dtε--Φ=-=⨯=⨯ 根据愣次定律可知ε的方向为逆时针绕行方向。

16.（自测提高18）无限长直导线通以电流I ．有一与之共面的直角三角形线圈ABC ，已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示．若线圈以垂直导线方向的速度v ρ向右平移，当B 点与长直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势大小和感应电动势的指向． 【解答】解一：,tan b ABC aθθ∠==设 000cos()sin ln 222cos 2AA d a BAB B d I I I dx b d a v B d l v dl v v x x a d μμμπεθθππθπ→→→++⎛⎫=⨯⋅=-== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰02()CACA I vB d l v b d a μεπ→→→⎛⎫=⨯⋅=- ⎪+⎝⎭⎰ 0CBCB v B d l ε→→→⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭⎰ 00ln 22()BA AC CB I Ib d a vv b a d d a μμεεεεππ+∴=++=-+ 解二：x y xIs B Φd π2d d 0μ=⋅=ϖϖ，当B 点与长直导线的距离为任意值r 时，有：abr x y =- rar r aIbIbdx r x abx I ar r+-=-=⎰+lnπ2π2)(π2000μμμφ ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-+⋅+=-=dt dr a r a dt dr r a r a Ib dt d ln π20μφεi其中，v dtdr=，时当d r =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=a d a d a d a Ibv ln π20μεi ，方向：BACB17.（自测提高19）求长度为L 的金属杆在均匀磁场B ϖ中绕平行于磁场方向的定轴OO ＇转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁场B ϖ的方位角为，杆的角速度为，转向如图。