数学选修2-3第三章-统计案例阶段测试3(含详细答案)阶段测试三(第三章统计案例)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列关系中是相关关系的是()①路程与时间、速度的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系．A．①②④B．①③⑤C．③⑤D．③④⑤2．下列说法中表述恰当的个数为()①相关指数R2可以刻画回归模型的拟合效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；②在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量的贡献率，R2越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强；③若残差图中个别点的残差比较大，则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误或模型是否恰当．A．0 B．1C．2 D．33．(2016·重庆南开中学期末)巧克力很甜、很好吃，数学很妙、很有趣，某中学统计了部分同学“爱吃巧克力”与“数学成绩好”的关系，得到下表：经计算得k≈4.167，由此可以判断()参考数据：A.至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关B ．至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关C ．至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关D ．至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是()A．成正相关，其回归直线经过点(30,75)B．成正相关，其回归直线经过点(30,76)C．成负相关，其回归直线经过点(30,76)D．成负相关，其回归直线经过点(30,75)5．下列关于等高条形图说法正确的是() A．等高条形图表示高度相对的条形图B．等高条形图表示的是分类变量的频数C．等高条形图表示的是分类变量的百分比D．等高条形图表示的是分类变量的实际高度6．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从下图可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比例为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比例为60%7．(2016·大庆铁人中学期末)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：甲乙丙丁r 0.820.780.690.85m 115106124103则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性？()A．甲B．乙C．丙D．丁8．下列四个命题中①设有一个回归方程y＝2－3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②命题p：“∃x0∈R，x20－x0－1＞0”的否定綈p：“∀x∈R，x2－x－1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜0)＝12－p；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有()本题可以参考独立性检验临界值表：A.1个B．2个C．3个D．4个详解答案1．C①②④都是确定的函数关系．2．D3．B∵k＝4.167∈(3.841,5.024)，∴至少95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关，故选B.4．B由收集的数据计算得x＝30，y＝76.又回归直线经过点(x，y)，且正相关．5．C等高条形图表示的是两个分类变量的频率的比值，即分类变量的百分比．6．C从图中可以看出，女生喜欢理科的比例为20%，男生喜欢理科的比例为60%，这两个比例差值较大，说明性别与是否喜欢理科是有关系的．∴男生比女生喜欢理科的可能性大些．7．D因为相关系数|r|越大，残差平方和m越小，两变量的相关性越强，故选D.8．C①中，x与y负相关，x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故①错，②正确．③中，由正态分布曲线关于x＝0对称知，③正确．④中，K2＝6.679＞6.535，则有99%的把握确认这两个常量有关系．故②③④正确．9.(2016·大庆实验中学期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )， 算得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8. 附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”10．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y关于x的线性回归方程y^＝0.7x＋0.35，则表中m的值为()A.3B．3.15C．4D．4.511．已知x，y的取值如下表，从散点图可知y与x线性相关，且回归方程为y^＝0.95x＋a，预测当x＝10时，y的估计值约为()A.12.1 B．12.2C．13.1 D．13.212．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”二、填空题(每小题5分，共20分)13．在研究身高和体重关系时，求得R2≈________时，可叙述为“身高解释了64%的体重变化”．14．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝a＋bx i＋e i(i＝1,2，…，n)．若e i恒为0，则R2为________．15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y＝－20x ＋a^.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为________．16．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y＝b^x＋a^中b^≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)观察两相关变量得如下数据：求两变量间的线性回归方程．详解答案9.C10．A 线性回归方程必过样本点的中心.x＝3＋4＋5＋64＝4.5. y ＝0.7×4.5＋0.35＝3.5.又y ＝2.5＋m ＋4＋4.54.∴2.5＋m ＋4＋4.54＝3.5.解得m ＝3.11．A ∵x ＝0＋1＋3＋44＝2， y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝4.5∴4.5＝0.95×2＋a ，解得a ＝2.6.∴y ^ ＝0.95x ＋2.6.当x ＝10时，y ^ ＝0.95×10＋2.6＝12.1.12．C K 2＝(45＋10＋30＋15)(45×15－30×10)2(45＋10)(30＋15)(45＋30)(10＋15)＝100×375×37555×45×75×25＝10033≈3.030＞2.706，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．13．0.64解析：因为身高解释了64%的体重变化，所以R 2≈0.64.14．1解析：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R 2越接近于1，当残差e i 恒为0时，R 2＝1.15.13解析：由表中数据计算得x ＝8.5，y ＝80，又y ^＝－20x ＋a ^，∴a ^＝80＋20×8.5＝250，∴y ^＝－20x ＋250.代入表中x 的值计算得(8,90)，(8.2,86)，(8.4,82)，(8.6,78)，(8.8,74)，(9,70)，与表中(x ，y )比较知，点(8.2,84)，(9,68)在回归直线的下方，故所求的概率为P ＝26＝13. 16．46解析：x ＝14(17＋13＋8＋2)＝10， y ＝14(24＋33＋40＋55)＝38. 由题意得38＝－2×10＋a ^ ，∴a ^＝58.y ^ ＝－2x ＋58.当x ＝6时，y ^ ＝46.17．解：由表中数据计算得： x ＝0，y ＝0，∑10i ＝1x 2i ＝110，∑10i ＝1x i y i ＝330. ∴b ^ ＝∑10i ＝1x i y i －5x y ∑10i ＝1x 2i －5x 2＝188110≈1.71， a ^＝y －b x ＝0，∴所求线性回归方程为y ^＝1.71x .18.(12分)(2016·江西省樟树中学期末)十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：(1)是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；(2)把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列，数学期望．⎝⎛⎭⎪⎫附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) P (k 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.82819．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17(y i－y －)2＝0.55，7≈2.646. ( 参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n (t i －t －)(y i －y －)∑i ＝1n (t i －t －)2∑i ＝1n (y i －y －)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n (t i －t －)(y i －y －)∑i ＝1n (t i －t －)2，a ^＝y －b ^t －. )20．(12分)一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：(1)已知y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；(2)在实际生产中，预测每小时的产品中有缺点的零件为89个时，机器的运转速度是多少．(参考数值：∑i ＝15x i y i ＝1 380，∑i ＝15x 2i ＝145)详解答案18.解：(1)由于K 2＝n ·(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(40×20－20×20)260×40×60×40＝259<3.841，故没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．(2)由题意可得，男公务员生二胎的概率为4060＝23，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，23，X 的分布列为E (X )＝3×23＝2.19．解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331，及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^ ＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t ， 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．20．解：(1)∵x ＝5，y ＝50.∑i ＝15x i y i ＝1 380，i ＝15x 2i ＝145.∴b ^＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5.a ^ ＝y －b ^x ＝17.5.∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. (2)令6.5x ＋17.5＝89. 解得x ＝11.即机器的运转速度是11转/秒．21.(12分)(2016·湖北省天门市、仙桃市、潜江市联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？附表及公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d.(2)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2名同学对他们的答题情况进行全程研究，记丙，丁2名女生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望E (X )．22．(12分)由某种设备的使用年限x i (年)与所支出的维修费y i (万元)的数据资料算得如下结果，∑5i ＝1x 2i ＝90，∑5i ＝1x i y i ＝112，∑5i ＝1x i ＝20，∑5i ＝1y i ＝25.(1)求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．附：在线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －n xy ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．详解答案21.解：(1)由表中数据，得K 2＝50×(22×12－8×8)230×20×30×20＝509≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关．(2)由题设可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2名的方法共有C 28＝28种．其中丙、丁2人没有被抽到的方法有C 26＝15种；恰有1人被抽到的方法有C 12C 16＝12种；2人都被抽到的方法有1种，所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228，P (X ＝2)＝128，X 的分布列为∴E (X )＝0×1528＋1×37＋2×128＝12.22．解：(1)∵∑5i ＝1x i ＝20，∑5i ＝1y i ＝25， ∴x ＝15∑5i ＝1x i ＝4，y ＝15∑5i ＝1y i ＝5.∴b^＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5i＝1x2i－5x2＝112－5×4×590－5×42＝1.2，a^＝y－b^x＝5－1.2×4＝0.2，∴线性回归方程y^＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知b^＝1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．②由(1)知，当x＝8时，y^＝9.8(万元)，即使用年限为8年时，支出的维修费用约是9.8万元．。