2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).【预习评价】(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝x 2＋32，解得x ＝±22． 答案 ±22(2)已知向量a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 解析 ∵a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a |＝22＋22＝22，|b |＝（－8）2＋62＝10. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－422×10＝－210.答案 －210题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．答案 B规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2． 【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)． 题型二 平面向量的模【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10解析 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝10． 答案 B(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析 由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)． 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2 θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]． 由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 4 25规律方法 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．【训练2】 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足＝12（AB →+AC →），则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________.解析 建立如图所示的平面直角坐标系， ∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点.∴点P 的坐标为(2，1)，点D 的坐标为(0，2)，点B 的坐标为(2，0)， ∴PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2，1)， ∴|PD →|＝5，PB →·PD →＝－1.答案5 －1题型三 平面向量的夹角和垂直问题 考查方向方向1 向量的夹角问题【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12．∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案 C方向2 向量垂直问题【例3－2】 设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1，2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1，2m －4)， ∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5. 答案 5规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ． (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b |a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向． 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12． (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．课堂达标1．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ，b 的夹角θ＝( ) A.π6B. π3C.2π3D.5π6解析 cos θ＝－3－32×2＝－32，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.答案 D2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝±3． ∴|a |＝12＋n 2＝2． 答案 C3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝( ) A. 2 B.2 C.5 2D.50解析 ∵a －b ＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)， ∴|a －b |＝（－1）2＋12＝ 2.故选A. 答案 A4.已知向量a ＝(－4，3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.答案85．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．解∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)．b－3a＝(5，k＋6)，∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．课堂小结1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，③cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22．2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．。