＝
．
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
uuur | AB |＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2
．
[例 1] 已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是(－
1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若 p
uuur
uuur
＝ AB，q＝CD.
也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标．
3．空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)
a＝λb

a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3
，
或当b与三条坐标轴都不平行时
a1＝a2＝a3 a∥bb1 b2 b3． (2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
求(1)p＋2q；(2) (p－q)·(p＋q)；
(3)cos〈p，q〉． uuur uuur
（4）求 AB在CD上的正射影的数量
练习： 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝ 2，求 异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值．
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a·a ＝ a21＋a22＋a23 ，
|b|＝ b·b ＝ b21＋b22＋b23，
a·b cos〈a，b〉＝ |a||b|
a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
(1)求BN的长； uuur uuur
(2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值．
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量 的坐标，再利用向量方法进行求解．
uur uuur uuur [精解详析] 如图，以 CA ， CB ， CC1 为正交基底建 立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， uuur
Dxyz，则 D(0，0，0)，E(0，0，12)， F(12，12，0)，C(0，1，0)，C1(0，1， 1)，B1(1，1，1)，G(0，34，0)． (1) uEuFur＝(12，12，－12)， uuur B1C ＝(－1，0，－1)，
∴
uuur EF
uuur ·B1C
＝(12，12，－12)·(－1，0，－1)
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝
π 3
，则
a·b＝b·c＝c·a＝12.
因为OuuEur＝12(a＋b)，
uBuFur ＝12c－b，|OuuEur |＝|
uuur BF
|＝
23，
∴ OuuEur ·uBuFur ＝12(a＋b)·(12c－b)
＝14a·c＋14b·c－12a·b－12|b|2＝－12.
uuur
uuur
又|BA1 |＝ 6，|CB1 |＝ 5，
uuur uuur
uuur uuur ∴cos〈 BA1 ，CB1 〉＝|
uBuuAr1 ·CuBuu1r BA1 || CB1
＝ |
1300，
uuur uuur 即 BA1 与 B1C 夹角的余弦值为
30 10 .
练习：．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F
分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，
H 是 C1G 的中点． uuur uuur
(1)求 EF 与 B1C 的夹角； uuur uuur
(2)求 EF 与C1G 的夹角的余弦值；
(3)求 F，H 两点间的距离．
uuur uuur uuuur 解：如图所示，以 DA， DC ， DD1 为 单位正交基底建立空间直角坐标系
＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝0.
uuur uuur
uuur uuur
∴ EF ⊥ B1C ，即EF⊥B1C.∴ EF 与 B1C 的夹角为90°.
(2)
uuur C1G
＝(0，－14，
uuur －1)，则|C1G
|＝
17 4.
uuur 又|EF |
＝
23，
且
uuur EF
uuur ·C1G
（3）．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时， 夹角为0，反向共线时，夹角为π.
2．异面直线的定义 不同在任何一平面内 的两条直线叫做异面直线．
3．两条异面直线所成的角 把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹 角( 锐角或直角 )叫做两条异面直线所成的角．如果所 成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直 .
3．1.3 两个向量的数量积
1、空间向量的夹角
(1)定义及记法
已知两个 非零向量a，b，在空间中任取一点O，作
uuur OA
＝a，
uuur OB
＝b，则∠AOB
叫做向量a与b的夹角，记
作〈a，b〉 ．
(2)范围和性质
①范围： 0 ≤〈a，b〉 ≤ π． ②性质：〈a，b〉 ＝ 〈b，a〉． 如果〈a，b〉＝ 90°，则称a与b互相垂直，记作 a⊥b ．

4．异面直线夹角的范围是(0， ]．2
1．空间两个向量的数量积
已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)．
2．两个空间向量的数量积的性质
(1)a·e＝ |a|cos〈a，e．〉
(2)a⊥b⇔ a·b＝．0 (3)|a|2＝ a·．a (4)|a·b|≤ |a||．b|
|
＝12，
又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.
答案：C
角是
()
A．30°
B．45°
C．60°
பைடு நூலகம்
D．90°
uuur uuur 解析：设〈 AB，CD〉＝θ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ∵ AB·CD＝( AC ＋CD＋ DB)·CD＝|CD|2＝1，
uuur uuur
∴cos
θ＝
|
uAuurB·CuDuur AB || CD
uuur uuur [思路点拨] 先求 BA1 · AC ，再由夹角公式求cos uuur uuur 〈 BA1 ， AC 〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的 余弦值．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur [精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝
∴|BN |＝ （1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3， ∴线段BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
uuur
uuur
∴ BA1 ＝(1，－1，2)，CB1 ＝(0，1，2)，
uuur uuur ∴ BA1 ·CB1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
＝38，
uuur uuur
uuur uuur ∴cos〈 EF ，C1G 〉＝|
uEuuFr ·Cu1uGur EF || C1G
＝ |
1571，
uuur uuur 即 EF 与C1G 的夹角的余弦值为
51 17 .
(3)∵H是C1G的中点，∴H(0，78，12)．
又F(12，12，0)， uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝BB1 ·BC ＝0，
uuur uuur uuuur ∴ BA1 ·AC ＝－ BA2 ＝－1.
uuur
uuur
又| AC |＝ 2，| BA1 |＝ 1＋2＝ 3.
uuur uuur
uuur uuur ∴cos〈OE ， BF
〉＝
|
uuur uuur
uuOurE OE |
·.B| uBFuFur
|
＝－23.
∵异面直线所成的角为直角或锐角，
∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23.
3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，
AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)．b＝(b1，b2，b3)． 向量坐标运算法则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa＝ (λa1，λa2，λa3) a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ．
u(A2uBu)r设＝OuAuBur(x－1Ou，uAury＝1(，x2－z1)x，1，B(yx22－，yy12，，zz22－)，z1则，)
正射影数量？ 3．两个向量的数量积是实数，它可正、可负、可为零．
4．两个空间向量的数量积的运算律
(1)(λa)·b＝ λ(a·．b) (2)a·b＝ b·a． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·．c
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
1．单位正交基底与坐标向量 建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的 正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构 成空间向量的一个基底 {i，j，k} ，这个基底叫做 单位正 交基底 ．单位向量i，j，k都叫做坐标向量 ．
uuur uuur ∴cos〈 BA1 ， AC 〉＝|
uBuuAr1 ·AuuCur BA1 || AC
＝－1＝－ |6