宽带信号源的DOA估计摘要本文讨论了多个宽带信号源的高分辨力的DOA估计。

提出的方法涉及两步。

首先通过特征分解类算法如music算法估计出几个带宽不重叠信号的角度。

然后提出了“聚焦变换”思想，利用所有子带信号的信息得到感兴趣区域的高分辨力角度估计。

文章最后用一个例子阐释了这种方法的可行性。

1、研究现状本文提出了一种处理多个宽带信号源实现高分辨DOA估计的新方法，它是基于对特定频域的特征分解算法，通过对多个窄带信号的估计修改空间数据协方差矩阵而实现的。

研究表明基于特征值分解算法的窄带信号角度估计比先前的常规波束形成算法有更高的分辨力[1],[2]。

通常这种方法利用空间数据协方差矩阵的代数特性，即在特征向量中第d个大特征值对应于第d个信号方向。

在宽带信号中，这种特性对每个频率点的数据仍然成立。

以前曾试图归一化窄带信号，其思想在于把宽带信号分成带宽不重叠的窄带信号，然后处理这些单独的子带信号。

基于此，两种特定的特征值分解算法已经提出。

在文献[3]中，子带信号的阵列流形矢量联合起来构成一个扩展的阵列流形矢量，然后得到这个扩展的阵列流形矢量的数据协方差矩阵，最后用处理窄带信号的DOA估计算法如music算法估计出信号的空间谱。

然而这种方法在阵元数和子信号数增大时计算量是相当可观的。

在文献[4]中，得到了单个子信号的music谱估计，这些估计联合起来构成了最终的谱估计。

最后，文献[5]提出了解决此问题的最大似然算法。

然而这种算法需要知道信号谱的密度矩阵，通常情况下是相当复杂的[5]。

在由处理窄带信号的算法向处理宽带信号算法的一般化中仍存在许多问题。

这是因为离散的阵列在抽样连续窄带信号时产生了变化。

因此，一个子带信号的信号空间将与另一个子带信号的的信号空间不同。

从而降低了特定方法中定义良好的信号空间和噪声空间的分辨力，如文献[3]中的方法。

在文献[4]中描述的方法中，如果在子信号的谱估计中不能分辨出信号的入射角，那么最终的宽带信号估计也不能分辨出信号入射角。

下面我们将首先提出整体问题，提出我们的定义和假设。

接下来将提出“聚焦变换”思想。

最后我们用一个例子比较了本文方法和文献[4]中提出的方法。

2、信号建模考虑由M 个宽带信号接收阵元组成的线性阵列，如图1所示。

也可以是任意几何阵列。

图1 阵列模型 信号源是来自d （d<M ）个不同方向的相互独立、时间调制的平面波。

噪声是与信号独立的加性噪声，1()(()...())T M n t n t n t =。

接收信号的密度矩阵x(t)由下式给出：()()()()()H x s n P f A f P f A f P f =+（1）其中，Ps （f ）是信号源的功率谱密度矩阵，假设为对角线矩阵（如不相关信号源）。

Pn(f)是噪声的功率谱密度矩阵，假设是一个已知的乘数因子，A （f ）是一个混合矩阵，它的列由信号源的方向向量给出： ()1()(),...()d A f A f A f =其中 0022()(1,exp(sin ),...exp((1)sin ))T k k k A f j f j f M c c ππθθ=- （2)实际上，基带数据向量被分解为几个窄带数据，第j 个分量由下式给出： 2()()exp()j Tj x f x t j t dt T π∆=-∆⎰ （3)其中，△T 是被分解的时间间隔，1/△T 是每个子信号的有效带宽。

如果△T 足够大，可以得到文献5[6]中的关系式。

cov(())()j x j x f P f =这里的cov(x(fj))是第j 个窄带部分的数据的协方差矩阵。

我们假设阵列的输出x(t)的观测时间是T 秒，然后被分成K 段每段△T 秒。

因此，△T 是一般窄带处理中的一个快拍K 是总的快拍数。

用x k (fj)表示第k 次快拍接收到的窄带分量，k=1,2，…K;j=1,2,…K 。

根据快拍的平稳性，我们得到如下渐进关系：cov(())()()()()H k j j s j j n j x f A f P f A f P f =+ （4) 我们的目的是通过x k (fj)估计出θj 和Ps(fj)，j=1,…J.3、算法实现客观上，公式（4）通过A （fj ）,Ps(fj)和Pn(fj)将每个子带信号的数据协方差矩阵和它的信号子空间、信号功率和噪声功率谱密度矩阵联系起来。

因此，每次取出一个子带信号，我们可以用任何一种特征分解算法如music 算法或文献2中提出的方法得到θj 的渐进无偏估计。

然而，这种算法只有在高于信噪比门限时才是有效的，而信噪比门限与快拍数成反比[7]。

这种性质尤其是在宽带信号传输中，子带信号的信噪比不足够大以分辨两个很近的目标时。

我们的目标是提出一种算法可以有效的将所有频率点的数据转换到同一参考频率上。

这需要对数据协方差矩阵时间频率的平均估计，从而可以通过近似不重叠子带信号的数目J 来增大快拍数。

下面我们将引出一种方法，叫做聚焦变换方法，它是与music 一起来估计宽带信号的DOA 的。

根据窄带信号处理公示，算法首先估计第j 个子带信号的数据协方差矩阵。

11()()KH j k j k j k C x f x f k ∧==∑ （5) 接下来，初步估计信号源个数d ，θ和Ps(fj)通过窄带music 算法和联合定阶方法得到[4]。

Music 算法的谱估计为； 1()()()j H Hn j n j S A E E A θθθ∧∧∧=（6) 其中，Aj(θ)是中心频率在fj 的子带信号的阵列流形矩阵，1(,...)n d M E e e ∧∧∧+=，ej 是(,())j n j C P f ∧ 的归一化特征向量。

ej 满足(),1,...i j j i n j C e Y P f e i M ∧∧∧∧== （7) 第j 个子带信号的空间密度矩阵可以由公式（4）得到11()[()()]()(())()[()()]H H H j s j j j j n j j j j P f A f A f A f C P f A f A f A f ∧∧∧∧∧∧∧∧--=- （8)其中，()j A f ∧是第j 个子带信号的阵列流形矩阵。

值得注意的是，在这一步，相距很近的目标信号仍不能分辨出。

然而，我们利用第一步估计聚焦到相距近的信号并试图从所有子带信号的信息分辨出它们。

强调一点，利用文献4中的谱域组合不能分辨出估计子带信号时未能分辨出的部分。

算法下一步估计仅基于数据协方差矩阵而得到的第j 个子带信号的DOA 估计谱。

对于θ1，矩阵中第k 分量由12exp((1)sin )j j f k cπθθ-给出。

对于特定角度，我们把所有子带信号聚焦到同一参考频率f0上。

实际上，我们首先预估计角度1θ∧，并认为是步骤一中未分辨出的信号入射方向。

选择信号带宽的中心频率为参考频率记为f0，第j 个子带的聚焦变换数据协方差矩阵由下式给出：*1()()j j j j T f C T f ∧∧Λ= （9) 其中，T1（fj ）是θ1的第j 个聚焦变换矩阵，它是对角阵，且对角线上第k 个元素为102exp((1)()sin )j D k f f cπθ∧--。

在θ1附近，所有∧Λ的信号子空间近似相同。

因此可以构成一个频率平均的协方差矩阵：1J j j j W ∧=Λ=Λ∑（10)其中，Wj 是一个与第j 个子带信号的信噪比直接相关的归一化加权因子。

公式（9）和（10）形成了一个新的噪声数据协方差矩阵，它来源于原始噪声向量和信号向量的转换而不是θ1的附近。

由上述定义参考矩阵**111121()()()()()()()()J d J H j n j j j l j j l j l j j j j l j Q T f P f T f W f f A f A f T f W μ====+∑∑∑ （11)其中，()l j A f 是预估计角度而不是θ1组成的方向矩阵，()l j f μ是由第一步特征分析得到的联合功率。

现在我们可以用music 算法估计信号入射角。

这样可以提高θ1的估计精度同时清空其他方向矢量。

最后得到新的角度估计值后重复第二步。

这样，聚焦变换可以同时估计出第一步中预估计的所有角度。

3、实例阵元数16，阵元间距D=c/2f0，其中f0为中心频率。

阵列瑞利限大约2/（M-1）=0.13弧度。

三个独立信号源S 1（t ）、S 2（t ）、S 3（t ），sin θ1=0.15，sin θ2=0.2 sin θ3=0.4.注意前两个信号源大约相差0.05弧度。

信号源为时间平稳零均值带通白高斯信号，中心频率均为f0=100hz ，带宽BW=40Hz 。

噪声n(t)是与信号源独立的平稳零均值带通高斯白噪声，与信号带宽相同。

噪声矩阵第m 个分量n m (t), m=1,2,…M ，相互独立且相同。

三个信号源的信噪比分别为0、0、-10dB 。

SNR 定义为每个阵元上信号功率与噪声功率的比值。

每个真元的采样频率为80Hz 。

总的观察时间是T=51.2秒，时间带宽积BT=2048.T 被分为K=64段，每个观测段△T=T/K=0.8秒，每段信号去噪后被不加窗的FFT 分成J=16窄带信号。

因此，x k (fj)由16窄带频率分量的64快拍组成。

仿真图如下。

图2 music算法图2给出了常规的music算法DOA估计谱，其中信号x k(fg)，k=1,…64,fg=f0=100Hz。

可以看到S1（t）S2（t）不能分辨，实际上，任何窄带处理算法都不能分辨出S1（t）、S2（t）。

图中0.17和0.39的谱峰将在算法的下一步骤用到。

图3 聚焦到0.17图3是当阵列聚焦到sinθ1=0.17时5次独立运行的结果。

图2中sinθ2=0.39谱峰的噪声是由公式（11）给出的。

图4 聚焦到0.39图4是当阵列聚焦到sinθ2=0.39时独立运行5次的结果。

图2中sinθ1=0.17的谱峰是加了噪声之后的。

与图2相比，图3图4在聚焦区域上，我们可以预估计角度为sinθ1=0.15，sinθ2=0.20，sinθ3=0.4.图3图4也会有一些假峰，然而仅仅随着感兴趣的聚焦区域变化，这些假峰可以忽略。

图5 聚焦到0.15图5是当阵列聚焦到sinθ1=0.15时的结果。

sinθ2=0.2和sinθ2=0.4的谱峰是加过噪声之后的。

这个结果与图3结果相一致，即图3中的两个谱峰确实代表两个信号源。

因此从图2和图4我们可以断定在sinθ3=0.4处只有一个信号源。

这样就不必在这个区域做进一步的处理了。

图6 文献[4]中算法图6是相同数据用文献4中算法独立运行5次的结果。

5次运行都没有分辨出两个相距很近的信号源。

4、结论本文提出了一种新的处理多个宽带信号源的高分辨力的两步算法。