习题一 （A ）1．计算下列二阶行列式： （1）3125--； （2）log 11log a b b a )1b ,a 0,≠>且（b a ；（3）x x yx yx+-； （4）21111t t t +-+.解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-13 2）=log log 10b a a b ⋅-= 3）=22()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 32．计算下列三阶行列式：（1）111101112---； （2）12111516312---； （3）0230b ac b ca-； （4）111c b ca ba---.解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ⨯⨯+-⨯⨯+---= 4) =22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性： （1）264315； （2）542163.解：1）6Γ= 偶排列 2）9Γ= 奇排列4．确定i 和j 的值，使得9级排列 （1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列； （2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列.解：1）当8,3i j ==时成偶排列 2）当8,6i j ==时成奇排列5．利用行列式定义计算下列行列式（1）01001010010101D =； （2）12340000000000a a D a a =.解：1）(2143)21124334(1)1D a a a a Γ=-= 2）(2143)142332411234(1)D a a a a a a a a Γ=-=6．利用行列式性质计算下列行列式：（1）313023429722203-； （2）3211040220110102；（3）1234234134124123； （4）213131071242115-----.（5）xy x y y x y x x yxy+++;（6）222a b c a b c b c a b c a c a b++++++.解：1) =3120103430455223121--=-=--- 2) =10100002602100302=--3) =100010001113110010101601222124411111104-==--------4) =10001001138100085521005725401151143==------5) =00xx x y xx y yx y x x y x x x y y x y+++++ =0000x y xy y x x y x y y x y x y x y x-++--- 332()x y xyxy x y xy x x yy=+=-+-+- 6) =222a b c a bc b c a b c a c a b ++++++ =22a b c a b c a b cc b c a b c a c a b ++------++++ 111()22a b c cb c ab c ac a b--=++++++ =111()022022a b c b c a b c a c c a b --++++++++ 111()0()022a b c a b c a b a cc a b--=++++-++++ =32()a b c ++7．计算下列行列式：（1）11231323n n nD --=--K K M M M M；（2）111222121212n n n n a a a n a a a nD a a a n++++++=+++K K M M MMK（n ≥2）；（3）11221110001100011000010011n n n n a a a a D a a a +-----=---K K K MMMMMK K ；（4）0121111111000101210001n i n na a a D a i n a a +-=≠=L K K K MMMMMK K（其中0，，，，，）.解：1) 10001200!1n D n n-==-K K M M M O ML2) 1°当n =2时，12n D a a =-2°当n ＞2时，11111222222122120212n nn n n n a a a n a a n a a a n a a n D a a a na a n++++++++=+=++++L L L L M MOM M MOM LL3) 110000110000110010001000011n D +--==-L L L M M M O M M L L 4) 01211201111110000000010000nn n i i n na a a D a a a a a a a +=-⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑L L L L M M M O M M L L8．解方程：（1）2212134526032113212x x ---=--+--（2）11001()01001x y z x x y z y z=其中、、均为实数.解：1)22(9)(1)0x x --= 3x =±或1x =± 2)22211x y z ---=0x y z ===9．用克拉默法则解下列线性方程组： （1）123123133243421132411x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩（2）1234123423412342513232222420x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎪⎨++=-⎪⎪-++=⎩解：1)1234112412141142311234111124311432113,,1211211211342342342324324324x x x --------====------------ 2) 122511*********1312131123103222322022221421422042D D D -----===---- 34251125111121113243220322211214D D ----==---- 312412341,0,,1D D D Dx x x x D D D D∴=======-10．k 取何值时，下面的方程组仅有零解？（1）320720230x y z kx y z x y z +-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩（2）0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：1) 当32163725630,,5213kk k --=-≠≠-即时仅有零解 2) 当1111(1)(4)0,14,211kk k k k k -=+-≠≠≠-即且时仅有零解（B ）1．填空题（1）设1234134()124123x f x x x=，则方程f (x )=0的根为____________；（2）1111111111111111xx y y +-+-=________________；（3）设行列式3040222207005322--，则第四行各元素余子式之和的值为__________；（4）n 阶行列式0001000000001n a a D a a=L LMM M M M L L =__________ （5）设n 阶行列式13521120010301n n D n-=L L LM M M M L则D n 的第一行各元素的代数余子式之和11121n A A A +++=L ______________.解：1) ()(2)(3)(4)0f x x x x =---= 2,3,4x x x ∴=== 2) =22x y 3) -28 4) 2nn a a--5) 21!(1)nk n k =-∑2．选择题（1）下列行列式中，不等于零的是（ ）.A ．1231110.50.50.5--- B. 1231110.5 1.5 2.5 C. 1531210.542.5D. 111412125---- （2）已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（ ）. A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m（3）多项式10223()71043173xx x f x x-=--中的常数项是（ ）.A ．3B ．-3C ．15D ．-15（4）设行列式1234123412341234()a a a a x a a a x a f x a a x a a a xa a a --=--，则方程()f x =0的根为（ ）.A ．1234,a a a a ++B ．12340,a a a a +++C ．1234,a a a a --D ．12340,a a a a ----（5）n 阶行列式D n 为零的充分条件是（ ）. A ．主对角线上的元素全为零B ．有(1)2n n -个元素都等于零 C ．至少有一个（n -1）阶子式为零D ．所有（n -1）阶子式均为零 解：D 、A 、A 、B 、D3．证明：32222()22a b ca a bb c a b a b c ccc a b----=+---.证明: 左=111()2222a b c bb c a b ccc a b++----3111()00()0a b c b c aa b c c a b=++---=++---4．证明：1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++.解：11111111112222222222ab c c a b b c c a ab c c a b b c c a a b c c a b b c c a ++++=+++++++++左 =1112222ab c ab c a b c5．计算下列n 阶行列式：（1）0000100002001000000nD n n =-L LM M M M M M L L ； （2）123121221321321221n n n n n D n n nn n ---=----L L L M M M M M L ； （3）210001210000021012n D ---=--L L MM M M M L L；（4）12323413452121n n D n n =-L L L M M M M L.解： 1) (1)(2)((1),(2)1,)2(1)!(1)!n n n n n nD n n --Γ--=-=-L2) 11111111110222111120022211110001nn n n n D n n n ------------=--=---L L L L L L M M M O M M M M O M L L12(1)2(1)n n n --=-+ 3) 10000021001200100012n D n ---=--=+--L L L M M M O M M L 4) 1231341(1)145221111n n n n D n +=-L L L M M M O M L=1230111(1)01112111n n n n n-+-L L L M M M O M L(1)12(1)(1)2n n n n n +-+=-⋅6．用数学归纳法证明2112122222122122121111n n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a a a a a ++==++++L L L M M ML证明: 1°当n =2时,222112212212111a a a D a a a a a +==+++ 2°设n =k 时,2211k k D a a =+++L当n =k +1时,222211111k k k k k D D a a a a +++=+=+++L7．证明n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 00sin(1)sin 0002cos 1012cos n θθθθθθθ+=L L L M M M M M L L证明: 1°当n =2时,22cos 1sin312cos sin D θθθθ==2°设n =k 时,sin(1)sin k k D θθ+=当n =k +1时,1sin(2)sin(1)cot cos(1)sin k k k D D k k θθθθθ++=++++=8．试证：一元二次函数可由其图像上三个横坐标互不相等的点唯一确定.证明: 设二次函数为2y ax bx c =++,三点为112233(,),(,),(,)x y x y x y ,且123x x x ≠≠,则211122222333ax x c y ax x c y ax x c y ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 又2112222331101x x x x x x = 则方程组只有唯一的解a ,b ,c9．解线性方程组211121312112223221123111n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ---⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L L L 其中(12)i j a a i j i j n ≠≠=，，，，.解：211112122212111()1n n i j j i nn nn n a a a a a a D a a a a a --≤≤≤-==-∏L L MM M O M L123,0n D D D x D =====L11231,0n D x x x x D∴======L10．若齐次线性方程且1234123412341234020300x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解，则a 、b 应满足什么条件？解：当11112110113111a ab =-即2(1)4a b +=时,方程组有非零解.习题二 （A ）1．设矩阵232121a b a c A b c a b c +--⎡⎤=⎢⎥+--+-⎣⎦，且A O =，求a ，b ，c 的值.解: A =0时2302102100a b a c b c a b c +=⎧⎪--=⎪⎨+-=⎪⎪-++=⎩,则3,2,5a b c ==-=2．设201312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112215B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求（1）2A B +，（2）3A B -.解: 20111231022312215431A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 201112537333122159217A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．如果矩阵X 满足2X A B X -=-,其中2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0220B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求X .解：2X A B X -=- 22X A B =+ 12X A B =+21022211220222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．某石油公司所属的三个炼油厂A 1，A 2，A 3在2003年和2004年所生产的四种油品B 1，B 2，B 3，B 4的数量如下表（单位：104t ）：（1）作矩阵34A ⨯和34B ⨯分别表示2003年、2004年工厂A i 产油品B j 的数量； （2）计算A B +和B A -，分别说明其经济意义；（3）计算1()2A B +，并说明其经济意义.解: 1) 582715472201856525143A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 632513590302078028185B ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 2) 1215228916260381214553328A B ⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎝⎭上式表明:123,,A A A 三个在2003年,2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的总产量.52211802215342B A --⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明：123,,A A A 三厂在2004年生产的1234,,,B B B B 四种与2003年相比的增加量.3) 12192614221()813019621455316422A B ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上式表明123,,A A A 三厂在2003年、2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的平均产量.5．计算下列矩阵的乘积： （1）01121043⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （2）5112207432-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （3）（-1，3，2）304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（-1，2）； （5）112120124305--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）（1，-1，2）120201013112-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦解：1) 4312⎛⎫=⎪⎝⎭2) 126241114⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭ 3) =54) 241236-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭5) 1332⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6) =156．设311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111210111B -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求（1）AB 和BA ；（2）AB-BA .解：1) 612610842AB -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400410222AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2) 212220660AB BA -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭7．求所有与A 可交换的矩阵： （1）1011A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）11001101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 设a b X c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则XA =AX 得 a =d b =00aX ca ⎛⎫∴=⎪⎝⎭2) 设111222a b c Y a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则 YA AY =得 1220a a b === 12b c a == 1c b =00ab c Y a b a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭8．设矩阵A 与B 可交换.证明：（1）22()()A B A B A B +-=-；（2）222()2A B A AB B ±=±+.解：1) 2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=- 2) 22222()2A B A AB BA B A AB B ±=±±+=±+9．计算（1）31111⎡⎤⎢⎥--⎣⎦； （2）1301n⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）2212301111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）00000na b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （5）31111011100110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （6）1111111111111111n---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦解：1) 0000⎛⎫=⎪⎝⎭ 2) 1301n ⎛⎫=⎪⎝⎭3) 507527622⎛⎫⎪=⎪ ⎪---⎝⎭4) 000000n nn a bc ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5) 13610013600130001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6) 2,1,nE n n A n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数2为奇数10．设2210()f x a x a x a =++，A 是n 阶矩阵，定义2210()f A a A a A a E =++. （1）如果2()1f x x x =-+211312110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求()f A .（2）如果35)(2+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3312A 求)(A f .解：1) 2713()823210f A A A E ⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪-⎝⎭2) 200()5300f A A A E ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭11．设521341A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，320201B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 计算（1）AB T ；（2）B T A ；（3）A T A .解：1) 32521199203411701TAB --⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭2) 21211042341TB A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) 34222206262TA A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭12．设某港口在一月份出口到三个地区的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表：（1）利用矩阵乘法计算经该港口出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？ （2）利用（1）的结果计算经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：1) 0.20.35820655335200010008000.0110.05827633.8120013005000.120.5840770346⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2) 82065533511810827633.81191.884077034611956⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613．设A 为n 阵对称矩阵，k 为常数.试证kA 仍为对称矩阵.证明: 设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L,则 111212122212()n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L则kA 为对称矩阵14．（1）证明：对任意的m ×n 矩阵A ，A T A 和AA T 都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n 阶矩阵A ，A +A T 为对称矩阵，而A -A T 为反对称矩阵. 解：1) 证明: ()()TTTT TTA A A A A A ==Q ()()T TT TTTAA A A AA == ,TTA A AA ∴都是对称矩阵2) ()(),TTT TTTTA A A A A A A A A A +=+=+=++为对称矩阵 ()()()TTT TTTA A A A A A A A -=-=-=-- 则TA A -为对称矩阵15．设A 、B 是同阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .解：()TTTAB AB B A AB BA AB =⇔=⇔=16．判断下列矩阵是否可逆.若可逆，利用伴随矩阵法求其逆矩阵： （1）5432⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）1326-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； （3）021111312⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； （4）10120123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 1123522A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭2)不可逆3) 1153444131444131222A -⎛⎫- ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭4) 11001102211033A -⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭17．设n 阶矩阵A 可逆，且det A =a ，求1det A -，det *A .解：1AA E -=Q 111det det AA a-==∴ *det AA A E =⋅∴*11det (det )n n A A a --==18．设A 为n 阶矩阵，A ≠O 且存在正整数k ≥2，使k A O =.求证：E A -可逆，且121()k E A E A A A ---=++++L证明: 21()()k E A E A A A --+++L2121()k k k E A A A A A A E A E E A --=++++----=-=-L L 21K E A A A -=+++L19．已知n 阶阵A 满足232A A E O --=.求证：A 可逆，并求A -1。