例题例1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ， 试计算：1）BA AB -；2）22B A -；3）))((A B B A --；4）B A T2。

解：1）;4189332141,6158228114,.2317116055⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）22B A -;7263450149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4）B A T2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=412168223462220。

例2、求D=30124025312613442-----解：D 1812341358161812034130126158160-----=------= 14418120202303244-=----=求D=1111111111111111--- 解：D 82000020000201111-=---=例3、设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*A 4。

例4、设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，则=B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123。

例5、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*123A A --的值。

解：因为,211*--==A A A A 所以21)1(432313111*1-=-=-=-=------A A A A A A。

例6、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。

解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。

E A E A 2,011210113222-∴≠-=--=- 可逆，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴--321011324461351341321011324121011322)2(11A E A B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9122692683。

例7、设n 阶矩阵A 和B 满足AB B A =+，（1）证明E A -为可逆矩阵；（2）证明BAAB =（3）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A 。

证明（1）E A E E B E A AB B A -∴=--∴=+,))((, 可逆。

（2）由（1）))()(())((E E A E B E B E A =--=--。

化简即得。

（3）B E B A B A AB =-∴+=)(, 。

由（1）知E B -可逆，所以，11100002030200012031)(--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=E B B A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001310211。

例、已知n 阶矩阵A 满足3)(2A E A A =-，并求1)(--A E 。

证明： 3)(2A E A A =-，E A A A E =--+∴3222。

变形可得：E A A E A E =+--))((2。

因此)(A E -可逆，且21)(A A E A E +-=--。

例、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/5102/32/10001A ，则=-1*)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1040620004。

例、A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123求1-∴A解：⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101211001200010123101011001200410123100010001323513123⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫---- ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→21021211233267100010001210212112922710001000321021211423100010103 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-210212112332671A 。

例、问b a ,取何值时，下列方程组有非零解，并求其解。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020 0321321321x bx x x bx x x x ax解：)1(1211111a b b b aA -==，当0=b 或1=a 时，0=A ，方程组有非零解。

当0=b 时，R t t a x x x a a a A ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,111,0001101011011110110110111321。

当1=a 时，R t t x x x b b b b A ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,101,000010101012001011112111111321。

例、设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ 问λ为何值 时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？解：)1(003221103322133)1(33322133)1(3112132-=+=++=++++=++-+=λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA 。

当1,0≠λ时，方程组有唯一解； 当0=λ时，,2)(3)~(,300001100213311001100213330301100213~=≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A R A R A 无解。

当1=λ时，,32)()~(,000032101101321032101101341611011214~<==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A R A R A方程组有无穷多解。

R t t x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,121031321。

例、把向量β表示成向量4321,,,αααα的线性组合：)1,0,0,0(=β，)1,0,1,1(1=α，)1,3,1,2(2=α，)0,0,1,1(3=α，)1,1,1,0(4--=α。

解：设,44332211ααααβk k k k +++=则314321421424321321,0101,103002ααβ-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++k k k k k k k k k k k k k k k k 。

例、研究下列向量组是线性相关还是线性无关：)2,0,1(),5,2,0(),3,2,1(321-=-=-=ααα；解：321,,021520321ααα∴=--- 线性相关。

例、问t 取何值时，下列向量组线性相关：),1,1(),1,,1(),1,1,(321t t t --=--=--=ααα。

解：因为向量组线性相关，所以2,1,0)2()1(2311111123-=∴=-+=--=------t t t t t tt t。

例、用Schmidt 正交化方法将下列向量组正交化： 1）)1,1,1(1=α，)1,1,0(2=α，)1,0,1(3=α； 2）)1,1,1(1-=α，)1,1,1(2-=α，)1,1,1(3-=α。

解：1）)1,1,1(11==αβ，=-=1111222),(),(ββββααβ32)1,1,0(-)1,1,1(=)1,1,2(31-，=--=222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ)1,1,2(3121)1,1,1(32)1,0,1(-⨯+-=（)21,21,0-2）)1,1,1(11-==αβ，=-=1111222),(),(ββββααβ31)1,1,1(+-)1,1,1(-=)4,2,2(31-，=--=222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ)4,2,2(3121)1,1,1(31)1,1,1(-⨯+-+-=（)0,1,1例、n 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量 线性无关 ；若n λλλ,,,21 是n 阶方阵A 的n 个特征值，则=∑=n i i 1λ∑=ni iia1，=∏=ni i1λA 。

例、已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为3,2,1，则=A 6 ，=-1*)21(A 2/9 。

例、求下列矩阵的特征值和特征向量：1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122113221解：0)3)(3(2=+-=-λλλA E ， 因此，3,3321-===λλλ。

当31=λ时，解方程组0)3(=-X A E ，,0001101014221432243⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-A E故属于31=λ的特征向量为())0(,1,1,1≠k k T。

当332-==λλ时，解方程组0)3(=--X A E ，,0002101012221232223⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--A E故属于332-==λλ的特征向量为())0(,1,2,1≠-k k T。

2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛324202423解：,0)8()1(2=-+=-λλλA E因此,1,8321-===λλλ当81=λ时，解方程组,0)8(=-X A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0002/1101015242824258A E故属于81=λ的特征向量为()Tk 2,1,2。

当132-==λλ时，解方程组,0)(=--X A E,000000212424212424⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--A E 故属于132-==λλ的特征向量为T T k k )1,2,0()0,2,1(21-+-，其中21,k k 不全为零。

例、设21,λλ是n 阶阵A 的特征值，21λλ≠，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明：21ξξ+不是A 的特征向量。

证明：用反证法。

若21ξξ+是A 的属于某特征值λ的特征向量，则 )()(2121ξξλξξ+=+A ， （1） 由于21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，所以 222111,ξλξξλξ==A A ， （2） 由（1）、（2）可得： 221121)(ξλξλξξλ+=+，所以θξλλξλλ=-+-2211)()(，因为21λλ≠，所以21,ξξ线性无关，因此λλλ==21。