备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且»AN＝»BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．思路点拨（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得AC CNCM BC，即可求CM的长．满分解答（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM 平分∠ABD ，∴∠OBM ＝∠MBF ，∴∠OMB ＝∠MBF ，∴OM ∥BF ，∵MF ⊥BD ，∴OM ⊥MF ，即∠OMF ＝90°，∴MF 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AN ，ONQ ¶¶AN BN=， 4AN BN ∴==AB Q 是直径，¶¶AN BN=， 90ANB ∴∠=︒，ON AB ⊥2242AB AN BN ∴=+22AO BO ON ∴===22981OC CN ON ∴=-=-=221AC ∴=，221BC =A NMB ∠=∠Q ，ANC MBC ∠=∠ACN MCB ∴∆∆∽ ∴AC CN CM BC= AC BC CM CN ∴=g g73CM ∴=g73CM ∴=【例2】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cos D=35，请求出AC的长．思路点拨（1）连接OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC；（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=35，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度．满分解答解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切．（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=35，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC=OHOC=2rr=35，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=5【例3】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=23，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．思路点拨（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=23，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．满分解答解：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=23，BD=4，∴AB=6，∵E是»AB的中点，AB是⊙O的直径，∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，∴AE=∵E是»AB的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE EG AE，即EG•ED=2AE=18．【例4】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．思路点拨（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．满分解答（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC AD AB OA，∴AD=65t，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴65t+t=6，∴t=30 11；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t=41=4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴PE BP OA AB=，∴PE=3.6，∴由勾股定理可求得：EF=2195，由垂径定理可求知：FG=2EF=419；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ AC AB OA=，∴62 106t t -=，∴t=18 13，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=30 11，∴当30 11＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．【例5】如图，△ABC内接于⊙O，2,BC AB AC==，点D为»AC上的动点，且10cos10B=.(1)求AB的长度；(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH CD DH=+.思路点拨（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得A D•AE的值；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.满分解答（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=10cos10BFB==（2）连接DG，∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ，∴AD ：AF=AG ：AE ，∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，∵AF=22AB BF =3， ∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×103=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN ， ∵AD=AD ，CD=ND ，∴△ADC ≌△ADN ，∴AC=AN ，∵AB=AC ，∴AB=AN ，∵AH ⊥BN ，∴BH=HN=HD+CD.【例6】已知如图，抛物线与轴相交于B(1，0)，C(5，0)两点，与y 轴的正半轴相交于A 点，过A ，B ，C 三点的⊙P 与y 轴相切于点A ，M 为轴负半轴上的一个动点，直线MB 交抛物线于N ，交⊙P 于D ．(1)填空:A 点坐标是____，⊙P 半径的长是_______，=____，=____，=____；(2)若S △BNC :S △AOB ＝48:5，求N 点的坐标；(3)若△AOB 与以A ，B ，D 为顶点的三角形相似，求MB·MD 的值．思路点拨（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；（2）根据S△BNC：S△AOB=48：5求出N点的y坐标，将yN代入抛物线方程即可求得N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．满分解答(1) ⊙P的半径=3,=,=,=；（2）由（1）知抛物线的解析式为=，∴A点的坐标为（0，），所以OA=，而OB=1,BC=OC-OB=5-1=4,,∵S△BNC:S△AOB＝48:5,∴,设点N的纵坐标为，则有，解得，而抛物线最小值是，∴，在中，时，（不合题意，舍去），，∴符合条件的N点的坐标是（7，）；…（3）过点A作直径AQ联接BQ，∴∠ABQ=90º,∠BAO+∠AOB=90º,∵MA与⊙P相切于点A，∴∠OAB+∠BAO=90º,∴∠OAB=∠AOB,而∠AQB=∠ADB,∴∠OAB=∠ADB,而∠AMB=AMD,∴△MAB∽△MDA,∴,∴…ⅰ当△AOB∽△DBA时，∠ABD=∠AOB=90º,易证△AOB∽△BOM,则∴OM=,,∴;ⅱ当△AOB∽△DAB时，∠BAD=∠AOB=90º,∴BD是⊙P的直径，∴∠DCB=90º,而BD=2×3=6,BC=4,∴∵∠DCB=∠MOB=90º,∴OM∥CD,∴△MOB∽△DCB, ∴,∴,∴,∴;所以，若△AOB 与以A,B,D 为顶点的三角形相似，MB·MD 等于或 【变式训练】1．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．3【答案】D【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠，∴3)sin 603OMOC cm ︒==．∵30OCN ∠=o ，∴123,223ON OC CN ===，∴24CE CN ==，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯⨯=故选：D ．2．如图，在ABC ∆中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O e 与AC 相切于点D ，BD 平分ABC ∠，3AD OD =，12AB =，CD 的长是（ ）A ．3B ．2C ．33D ．3【答案】A【详解】 解：∵O e 与AC 相切于点D ，9033 30//90160636323033623AC ODADOAD ODODtanAADABD ABCOBD CBDOB ODOBD ODBODB CBDOD BCC ADOABC BC AB AC BCCBDCD BC∴⊥∴∠︒∴∴∠︒∠∴∠∠∴∠∠∴∠∠∴∴∠∠︒∴∠︒∴∠︒∴⨯QQQ，＝，＝，＝＝，＝，平分，＝，＝，＝，＝，，＝＝，＝，＝＝，＝＝，＝，＝＝＝；故选A．3．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA AB PD AC⊥⊥，于点D，连接AP，设AP x PA PD y＝，﹣＝，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C ．D ．【答案】C【详解】设：圆的半径为R ，连接PB ，则1sin 22AP ABP x R R∠==， CA AB ⊥Q ，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠∠＝＝， 则2122x PD APsin x x R R α⨯=＝＝ 则212y PA PD x x R-+＝＝- 图象为开口向下的抛物线，故选：C ．4．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为A ．4B ．C ．6D ．【答案】B【详解】连结OD ，如图， ∵DF 是圆的切线， ∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF=90°，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC ， 而OD=OC ， ∴∠ODC=60°，∴∠ODC=∠A ， ∴OD ∥AB ， ∴DF ⊥AB在Rt △ADF 中，∠A=60°， ∴∠ADF=30°， ∴AD=2AF=2×2=4， 而OD ∥AB ，点O 为BC 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴AD=CD=4，即AC=8，∴AB=8， ∴BF=AB-AF=6， ∵FG ⊥BC ， ∴∠BGF=90°，在Rt △BFG 中，sinB=sin60°=， ∴FG=6×=3.5．如图，已知AB 是O e 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O e 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O e 的半径为4，6BC ，则PA 的长为（ ）A ．4B ．3C ．3D ．2.5【答案】A【详解】连接OD ， ∵PD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥PD ，∴∠PDO=90°，∵∠BCP=90°，∴∠PDO=∠PCB ，∵∠P=∠P ，∴△POD ∽△PBC ，∴PO ：PB=OD ：BC ，即PO ：（PO+4）=4：6，∴PO=8，∴PA=PO-OA=8-4=4，故选A.6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，2222++=BE EC4845∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OF OCBE BC=，即5445OF=，解得：OF=5．故选D．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．35D．25【答案】D【详解】如图：连接BE，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5连接BE，∴∠BAC＝∠EDB，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°∴BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB=，∴5553DB =，∴DB＝35，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝25，故选D．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=_____．【答案】23【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB=ADcos30︒=43，∴在Rt△ABC中，AC=AB•cos60°=43×12=23．故答案为23．9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=____．【答案】3．【详解】连接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案为．10．如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且60BPC ︒∠=，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是___．【答案】633+．【详解】过O 作OM AC ⊥于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 距离的最大，且点P 到AC 距离的最大值PM =，∵OM AC ⊥，60A BPC ︒∠=∠=，⊙O 的半径为6，∴6OP OA ==， ∴3363322OM ==⨯= ∴633PM OP OM =+=+，∴则点P 到AC 距离的最大值是633+，故答案为：633+．11．如图，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为___．【答案】12【详解】 解：作OH ⊥AB ，延长DC 交⊙O 于E ，如图，∴AH=BH=12AB=12， ∵CD ⊥OC ，∴CD=CE ， ∵∠ABD=∠DEA ，∠BCD=∠ECA ，∴△BCD ∽△ECA ，∴BC CD CE AC=， ∴CD•CE=BC•AC ，∴CD 2=（BH-CH ）（AH+CH ）=（12-CH ）（12+CH ）=14-CH 2， ∴214CH - ∴当CH 最小时，CD 最大，而C 点运动到H 点时，CH 最小，此时CD=12，即CD 的最大值为12．故答案为12． 12．如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切，切点分别为D E C 、、，半径1OC =，则AE BE ⋅=___________.【答案】1【详解】如图，连接 OE ，∵AD 、AB 与半圆 O 相切，∴ OE ⊥AB ，OA 平分∠DOE ，∴∠AOE=12∠DOE ， 同理∠BOE=12∠EOC ， ∵∠DOE+∠EOC=180°，∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，∴∠ABO=∠AOE ，∵∠OEA=∠BEO=90°，∴△AEO ∽△OEB ，∴AE ：OE=OE ：BE ，∴AE•BE=OE²=1，故答案为1.13．如图，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径AB ＝18，∠A ＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①¶¶BC BD=；②扇形OBC的面积为274π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．【答案】①③④．【详解】∵弦CD⊥AB，AB是直径，∴»»BC BD=，所以①正确；∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∴扇形OBC的面积=2609273602ππ⨯⨯=，所以②错误；∵⊙O与CE相切于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC，所以③正确；∵AP•OP=(9-OP)•OP= -(OP-92)2+814，当OP=92时，AP•OP的最大值为814=20.25，所以④正确，故答案为：①③④．14．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧¶AC上取一点D，使¶¶CD AB=，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE 3= C D ，劣弧¶CD的弧长为π，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为3．【详解】（1）∵¶¶CD AB =，∴∠CAD ＝∠BCA ＝α＝∠EAD ，设：∠DCA ＝∠DEA ＝β，∠DCE ＝∠DEC ＝γ，则△ACE 中，根据三角形内角和为180°，∴2α+2β+2γ＝180°，∴α+β+γ＝90°，∴CE 是⊙O 的切线；（2）过点A 作AM ⊥BC ，延长AD 交CE 于点N ，则DN ⊥CE ，∴四边形AMCN 为矩形， 设：AB ＝CD ＝x ，则CE 3=， 则CN 12=CE 3=＝AM ，而AB ＝x ， 则sin ∠ABM 3=ABM ＝60°， ∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，¶¶60360CD AB ︒==⨯︒2πr ＝π，解得：r＝3，故圆的半径为3．15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）7 9 .【详解】（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝45，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝79（另一负值舍去）．∴5759 AF xFC==．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)见解析；(2) tan∠BAD=11 2.【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴»AB=»AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC,∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又BC＝45，设AE＝x, CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE CEBE⋅=648⨯=3,∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12BD•AE，∴DH＝•11633105 BD AABE⨯==，∴BH＝2244 5BD DH-=，∴AH＝AB−BH＝10−446 55=，∴tan∠BAD=DHAH=336=112.17．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC，求DFCF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【详解】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵CE=CF∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴AD DF DF AC CE CF==，∵BD=43 DC，∴tan∠ABC=CDBD=34∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=34，∴sin∠ACD=35 ADAC=，∴DFCF=35ADAC=．18．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=4 5 .(1)求证：△DEB∽△DAE；(2)求DA，DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.【答案】(1)证明见解析；(2)DA=1607，DE=1207；(3)MD＝35235.【详解】(1)DE2＝DB·DA，∴DE DB DA DE=，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE；(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，又∵AE=EF，BF=10，∴AB=BF=10，∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=45，∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=45，在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝45，得AE=ABcos∠EAD=8，∴226 BE AB AE=-=，∵△DEB ∽△DAE，∴6384 DE DB EBDA DE AE====，∵DB=DA-AB=DA-10，∴341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩的解，∴DA=1607，DE=1207；(3)连接FM，∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，∴点M在以BF为直径的圆上，∴FM⊥AB，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝AM AF得AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×45＝645，∴MD＝DA－AM＝16064352 7535-=.19．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）PD=4，OA=2．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE ∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴2DE=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴PD POPE PB=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴23PDPE=，即223PDPD=+，∴PD=4．20．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=43且CFCP=34时，求劣弧»BD的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）433．【详解】（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，∴∠FAC=∠EAC，即AC平分∠FAB；（2）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2=CE•CP；（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴BM CM PM BM=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=3a，∴tan∠BCM=3 BMCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴»BD的长=1202343ππ⨯⨯=．21．如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP =60°，PA =PD ． （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若点C 是弧AB 的中点，已知AB =4，求CE •CP 的值．【答案】（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）8.【详解】（1）如图，PD 是⊙O 的切线．证明如下：连结OP ，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP ，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD ，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD 是⊙O 的切线．（2）连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵C 为弧AB 的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C ，∠CAB=∠APC ，∴△CAE ∽△CPA ，∴，∴CP•CE=CA 2=（）2=8．22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．23．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O e 的切线；（2）求证：24BC CF AC =g ；（3）若O e 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16433π- 【详解】解：（1）如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O e 的切线；（2）连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =， 则12DB DC BC ==， ∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA V V ∽，∴2•CD CF AC =，即24BC CF AC =g ；（3）连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 4322OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠=V ， 212016443433603OAES OAE S S ππ︒︒=-=⨯⨯-=-V 阴影部分扇形 24．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：B D 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】解：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD AC BQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=2105，∴BE=610，设OB=OD=R，∴OE=R﹣2105，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣2105）2+（610）2，解得：R=210，∴⊙O的半径为210．25．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【答案】（1）AD=26；（2）当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣26．【详解】（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=12AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE=22OD OE-=22；在Rt△ADE中，AD=22AE DE-=26；（2）当DP=DF时，如图2，点P与A重合，F与C重合，则AP=0；当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD，∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，∴∠DPF=∠C，∵∠PDF=∠CDP，∴△PDF∽△CDP，∴∠DFP=∠DPC，∴∠CDP=∠CPD，∴CP=CD，∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣26；当PF=DF时，如图3，∴∠FDP=∠FPD，∵∠DPF=∠DAC=∠C，∴△DAC∽△PDC，∴PC CDCD AC=，26 26=，∴AP=5，即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣6．。