三角函数1．已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。
2．求证：xxx x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-+3．已知1cot tan sin 2),2,4(,41)24sin()24sin(2--+∈=-⋅+αααππααπαπ求的值.4．设m 为实数，且点()0tan ，αA ，()0tan ，βB 是二次函数()()2322-+⋅-+=m x m mx x f 图像上的点.(1)确定m 的取值范围(2)求函数()βα+=tan y 的最小值．5．已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求ααα222cos 1cos sin +-的值．6．设函数)()(c b a x f +⋅=，其中a ＝(sinx,－cosx)，b ＝(sinx,－3cosx)，c ＝(－cosx,sinx)，x ∈R ；(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2) 将函数y ＝f(x)的图象按向量d 平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求|d |最小的d ．7．在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．8．设f (x)＝cos2x ＋23sinxcosx 的最大值为M ，最小正周期为T ．⑴ 求M 、T ．⑵ 若有10个互不相等的函数x i 满足f (x i )＝M ，且0<x i <10π，求x 1＋x 2＋…＋x 10的值．9．已知f (x)＝2sin(x ＋2θ)cos(x ＋2θ)＋23cos 2(x ＋2θ)－3。
⑴ 化简f (x)的解析式。
⑵ 若0≤θ≤π，求θ使函数f (x)为偶函数。
⑶ 在⑵成立的条件下，求满足f (x)＝1，x ∈[－π，π]的x 的集合。
10．已知函数)(x f ＝2cos 2x ＋23sinx cosx ＋1.(1) 若x ∈[0，π]时，)(x f ＝a 有两异根，求两根之和；(2) 函数y ＝)(x f ，x ∈[6π，67π]的图象与直线y ＝4围成图形的面积是多少？11．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
12．已知向量25(cos sin )(cos sin )||5a ααb ββa b =-=，，=，，， (1) 求cos()αβ-的值； (2) (2)若500sin sin 2213ππαββα<<-<<=-，，且，求的值。
13．已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．14． 已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？15．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 3cos C a cB b-=，(1)求sin B 的值；(2)若b =，且a=c ，求ABC 的面积。
16.设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA.17. 在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13.（I ）求sinA 的值；(II)设，求∆ABC 的面积.18．已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．19．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．1 解：（1）αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan)4tan(-+=-+=+，由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα，解得31tan -=α（2）1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα2 证明：左边 = 2222cos 2sin cos sin cos sin αααααα-+- = 2(cos sin )(cos sin )(cos sin )αααααα--+ = cos sin cos sin αααα-+ =sin 1cos sin 1cos αααα-+= 1tan 1tan αα-+左边 = 右边 ∴ 原式成立。
3 解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,414cos 21)42sin(21==+=ααπ 得 .214cos =α 又.125),2,4(παππα=∈所以于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα4解：由已知αtan ，βtan 必为方程()02322=-+⋅-+m x m mx 的两根，m m 23tan tan -=+βα，mm 2tan tan -=βα，故()βα+tan =3/2-m ，又由△≥0()0≠m ，得49≤m ()0≠m ，()βα+tan 的最小值是43-．5．解：(1) tan(4π＋α)＝ααtan 1tan 1-+＝21解得tan α＝－31(2)1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα＝6521tan cos 2cos sin 2-=-=-αααα6. 解：(1)由题意得f(x)＝)(c b a +⋅ ＝(sinx ，－cosx)·(sinx －cosx ，sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋43π) 故f(x)的最大值2＋2，最小正周期为ππ=22 (2) 由sin(2x ＋43π)＝0得2x ＋43π＝k π 即x ＝2πk －83π，k ∈z 于是d ＝(83π－2πk ，－2)|d |＝48322+⎪⎭⎫⎝⎛-ππk (k ∈z)因为k 为整数，要使| d |最小，则只有k ＝1，此时d ＝(－8π，－2)为所示． 7．∵ sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0∴ sinA sinB ＋sinA cosB ＝sinA cosB ＋cosA sinB ∵ sinB > 0 sinA ＝cosA ，即tanA ＝1 又0 < A<π ∴ A ＝4π，从而C ＝43π－B 由sinB ＋cos2C ＝0，得sinB ＋cos2(43π－B)＝0 即sinB(1－2cosB)＝0 ∴cosB ＝21 B ＝3π C ＝125π 8．)(x f ＝2sin(2x ＋6π) (1) M ＝2 T ＝π(2) ∵)(i x f ＝2 ∴ sin(2x i ＋6π)＝1 2x i ＋6π＝2kπ＋2πx i ＝2kπ＋6π (k ∈z) 又0 < x i <10π ∴ k ＝0, 1, 2, (9)∴ x 1＋x 2＋…＋x 10＝(1＋2＋…＋9)π＋10×6π ＝3140π 9．解：(1) f (x)＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin(2x ＋θ＋3π)(2) 要使f (x)为偶函数，则必有f (－x)＝f (x) ∴ 2sin(－2x ＋θ＋3π)＝2sin(2x ＋θ＋3π)∴ 2sin2x cos(θ＋3π)＝0对x ∈R 恒成立∴ cos(θ＋3π)＝0又0≤θ≤π θ＝6π(3) 当θ＝6π时f (x)＝2sin(2x ＋2π)＝2cos2x ＝1∴cos2x ＝21 ∵x ∈[－π，π] ∴x ＝－3π或3π10．)(x f ＝2sin(2x ＋6π)＋2 由五点法作出y ＝)(x f 的图象(略) (1) 由图表知：0＜a ＜4，且a≠3 当0＜a ＜3时，x 1＋x 2＝34π 当3＜a ＜4时，x 1＋x 2＝3π (2) 由对称性知，面积为21(67π－6π)×4＝2π. 11、解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--2sin 22cos 2)4πx x x =-=-(1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88ππf x f x --=-+成立，因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-，())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-，所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。