三角函数在物理学中的应用 物理学中的周期现象的处理方法 三角函数是研究周期现象最重要的数学模型，它有着 重要的应用价值.由于物理学中的单摆、光波、机械波、电 流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识.因此借 助于三角函数模型，正确利用物理学中的相关知识是解答 此类问题的关键.
【例1】如图，表示电流强度I与
【审题指导】联想到由三角函数的定义可求角θ与点B的坐 标关系，可考虑建立恰当的直角坐标系，用θ表示点B的坐 标，进而求h与θ的函数关系式.对于第(2)问可求θ与时间t 的关系，得到h与t的函数关系式.
【规范解答】(1)以圆心O为原点，建立
如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB
为终边的角为 ,
由t=3,y=2.0，得b=2.0
∴A=1.5……………………………………………………4分 ∴ y1.5co(s0≤tt≤224) ……………………………6分
6
(2)由题知，当1.25≤y≤2.0时才可对冲浪者开放,
∴ 1.251.5cost22
6
∴ 1cos…t……0 …………………………………8分
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学， 又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题 中进行检验、评判.
【例2】如图为一个缆车示意图，该缆车 半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂 直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB， 设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函 数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是 多少？
【例】如图，半径为1的圆与直线l相交 于A、B两个不同的点，设∠AOB=x，当 直线l平行移动时，则圆被直线扫过部 分(图中阴影部分)的面积S关于x的函 数S(x)=_______. 【审题指导】弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面 积.
【规范解答】∵
S扇形12x12
x 2
S三 角 形 1 211sinx1 2sinx
30 2
30 2 2
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.
三角函数在平面几何中的应用 对三角函数在平面几何中应用的认识 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究 的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法， 于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何 和代数中都能有所作为，这无疑使三角函数在平面几何中 有着广泛的应用.
【审题指导】解答第(1)题的关键是确定周期和最大值、最小 值，求参数A、ω、b. 解答第(2)题时要注意根据题意构造不 等式1.25≤y≤2.0，求出t的取值范围.
【规范解答】(1)由表中数据，知周期T=12 ∴ 2…2………………………………………2分
T 12 6
由t=0,y=3.5，得A+b=3.5
t/h 15 18 21 24
y/m 2.02 0.49 1.99 3.49
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Acos ωt+b的图像； (1)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，浪高在1.25 m～2 m之间可以允许冲浪爱好 者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8:00至 晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？
∴S(x)=S扇形-S三角形
= 1 (x-sinx),x∈(0,2π).
2
答案：1xsinx,x(0,2)
2
【典例】(12分)某风景美丽的海滩的浪高y(米)是时间
t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t),下面是某日
浪高的数据：
t/h 0
3
69
12
y/m 3.50 2
0.50 1.98 3.51
2
故B点坐标为(4.8cos(),4.8sin()).
2
2
∴h=5.6+4.8sin( ,θ) ∈［0,+∞).
2
(2)点A在圆上转动的角速度是 ,t秒转过的弧度数为
30
,t
30
∴h=5.6+4.8sin( t ,t∈) ［0,+∞).
30 2
到达最高点时，h=10.4 m.
由sin( t得)1 ,∴tt= 30,
点，据此可求出解析式.(2)画图分析得：要使任意一段 1 秒的时间内I能同时取最大值和最小值，需要满足周期
100 T 1 .
100
【规范解答】(1)由图可知：A=300，
周期 T1( 1 )1.
60 300 50
∴ 2，1此00时 所求函数的解析式为
T
I=300sin(100πt+ )
以点( 1 为, 0“) 五点法”作图的第一关键点，则有
时间t的关系式I=Asin(ωt+ )
(A>0,ω>0)在一个周期内的图像
(1)根据图像写出I=Asin(ωt+ )
的解析式；
(2)为了使I=Asin(ωt+
)中t在任意一段 1
100
秒的时间内I
能同时取最大值|A|和最小值-|A|，那么正整数ω的最小值
为多少？
【审题指导】(1)由一个周期内的图像可确定图像的五个关键
26
∴ 2kt2k2
26
3
或 2k4t (k2∈kZ)3
36
2
即12k+3≤t≤12k+4
或12k+8≤t≤12k+9(k∈Z)………………………………①
∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1， 得3≤t≤4或8≤t≤9 或15≤t≤16或20≤t≤21………………………………10分 ∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，故有2个小时的时 间可供冲浪者运动：分别是上午8:00至9:00与下午15:00至 16:00.……………………………………………………12分
300
100(1)0 ， .
300
3
得函数解析式为 I300sin(10.0t)
3
(2)要使t在任意一段 1秒能取得最大值和最小值,
100
必须使得周期 T 1
100
即 2 1 2 0 0 ＞ 6 2 8 .3
1 0 0
由于ω为正整数,故ω的最小值为629.
三角函数在生产生活中的应用 对三角函数在生产生活中的应用的理解 (1)现实生产、生活中，周期现象广泛存在，在解决实际问 题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察 散点图，进行函数拟合，获得具体的函数模型. (2)应用数学知识解决实际问题时，应该注意从复杂的背景 中抽取基本的数学关系，还要用相关学科知识来帮助理解 问题. (3)在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件.