P
B
A
O
小结：三点共线的结论
若A、B、C三点共线，Ｏ是其所在直线外一点， 则存在唯一的实数ｔ，使 OA =（1－t）OB ＋tOC，反之亦成立。
（1）若P是AB靠近A的三等分点， 则OP
2 1 OP a＋ b 3 3
知识点 2 : 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i、j作为基底，对于平面上的一个 向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数x、y，使得a xi + yj, 这样，平面内的任一向 量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x , y） 叫做向量a的（直角）坐标，记作a （x、y）， x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 把a （x、y）叫做向量的坐标表示。
(7)已知 a (3,-1), b (1,-2), c 2a + b 则c 的坐标是 (8)已知点A, B, C的坐标分别为(2,-4) (0,6), (-8,10), 则 AB + 2 BC ; 1 BC - AC . 2 (9)已知 a + b (m, n), a - b ( p, q ), 则 a ; b .
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1
、a2 ，使
a = a1 e1 + a2 e2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量 内涵 基底组数： 无数组
2.定理中a1， a 2的值是否唯一？
3.定理的价值何在？
例1. 已知：

ABCD的两条对角线相交于点M， 且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
二.1.重点：重点：平面向量基本定理的用；
2.难点：难点：平面向量在给定基向量上 分解的唯一性．
通过作图方法，探索形成
三.学习导图
平面向量的基本定理 探讨正交分解下向量的分解及坐标表示 探讨平面向量的线性运算 例题与练习
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？ （2）利用什么法则？
v
v sin
复习回顾：
（1）平面向量的实际背景及基本概念：向量、 有向线段、零向量、单位向量、相等向量、共 线
向量。 （2）向量的加法、减法、数乘运算及其几何意 义。强调平行四边形法则和三角形法则的应用， 注重数形结合思想的运用。
1 .1 3 a- 2 b 答案： （ ） - 2 e1 + 4 e2



D
C
解： AC AB+ AD a + b ,

b
M
A a DB AB- AD a - b , 1 1 1 MA - AC - (a + b) - a - b 2 2 2
B
1 1 1 MD - DB - a + b 2 2 2
练习： 1.已知点M是三角形ABC的边BC的中点，
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 1
、2 ，使

a 1 e1 + 2 e2


我们把不共线的向量 e1 ， e2 叫做
表示这一平面内所有向量的一组基底，
记为：
e e ，
1 2
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个
若 AB a , AC b , AM 1 （ a + b ） c 2





A
B M (2)已知三角形ABC 中， BC a , CA b , AB c ,

三边BC 、CA、AB的中点依次为D、E、F， 则 AD+ BE + CF
0
例 2. 已知是l上任意两点，O是l外一 点如图，求证：对直线l上任一点P， 使 OP 关于基底{ OA, OB 存在实数t， }的分解式为 OP (1 - t )OA + tOB.

v cos
探究：给定平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ内两个向量 e
N B
、e2 ，平面 内任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
1
e2
A
e1
M
e2
a
平移 共同起点
e1
B
a OA + OB
a
e1
A
OA 1 e1 OB 2 e2
分解
e2
O

1 1 2 2
a e + e
平面向量基本定理 知识点1：
(3)向量e1、e2不共线，则a 2e1 - e2与 b e1 + e2共线的条件是( ) 1 ( A) 0 ( B) -1(C ) -2( D) 1 2
2 MN
(4)已知M (3,-2)、N (-5,-1), 且 MP 则P点坐标为（ ） 2 ( A) (-8,1) ( B) (-1,- ) 3 2 (C ) (1, ) ( D) (8,-1) 3
2、过程与方法
• （2）经历用向量方法解决某些简单的平面几 何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程， 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的 工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
3、情感、态度与价值观
（1）通过运用向量基本定理等知识解决各科 问题这一过程，培养学生的学习兴趣及探索 精神。 （2）了解向量与其他知识之间的紧密关系， 树立辨证唯物主义观点。
(5)若A(1,1), B(2,-4), C ( x,-9)三点共线， 则x的值是( ) 9 ( A) - 1 ( B)3 (C ) ( D)5 2 (6)已知a (-1,3), b ( x,-1), 且a // b ，则 x ( ) 1 1 ( A)3 ( B) - (C ) ( D) - 3 3 3

10 a - 22 b + 10 c （２）





2.
4 e1
- 3 e1 + 10 e2
2.3平面向量基本
定理
一.学习目标
1.知识与技能
• （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）理解平面向量的基本定理的正交分解及坐 标表示 • （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 • （4）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数 量积的含义及其物理意义。 • （5），会进行平面向量数量积的运算。