高考数学选择题常考考点专练3
21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直
线的斜率为 （ ）
A ．4
B ．
4
1 C ．－4 D ．－14
【标准答案】
A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43
443
PQ a a k d -===-
22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为 （ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B
解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1
补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π.
23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是 （ ）
A ．a 2 + a 15
B ． a 2·a 15
C ．a 2 + a 9 +a 16
D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】
解析：∵ 17S =
2
)
(17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。
说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用
等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。
24 (理科)记二项式（1+2x ）n
展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则
23lim n n
n n n
b a b a →∞-+等于（ ） A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在
【标准答案】
解析：由题意得()123n
n n a =+=，2n
n b =，于是，
23lim n n n n n
b a b a →∞-+2212233lim lim 13232313n
n n
n n n n n →∞→∞⎛⎫⋅- ⎪⋅-⎝⎭===-⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭。
选B 。
25. 已知P 为圆O 外一点（O 为圆心）,线段PO 交圆O 于点A, 过点P 作圆O 的切线PB,切点为B,若劣弧AB 等分△POB 的面积, 且 ∠AOB=α弧度,则
A. tan α= α
B. tan α=2α
C. sin α=2cos α
D. 2 sin α= cos α 【标准答案】
解析：由于劣弧AB 等分△POB 的面积，所以S POB ∆=2S
AOB
扇形,
则
21OB ·PB=2
1l ·OB ×2=α·OB 2
， 所以PB=2α·OB,则 tan α=OB
PB
=2α.故选B 。
26. O 为△ABC 的内切圆圆心，且AB=5、BC=4、CA=3，
下列结论中正确的是（ ）
A ．OA OC OC O
B OB OA •<•<• B. OB OA •>>•O
C OB OA OC • C. OB OA •=OC OB •=OA OC • D. OB OA •<OC OB •=OA OC • 【标准答案】
解析：作出图形， 如图，数量积的意义是实数作差比大小， OB OA •-•=CA OB •，由直角三角形C 中为直角，
则•<0，故OB OA •<OC OB •； 同理 •-OA OC •=•<0， 则OC OB •<•。
故OB OA •<OC OB •<OA OC •,应选A 。
说明：向量的数量积为实数可转化为实数大小的问题，作差借助减法的运算又化归数量积判断，借助几何条件判断数量积符号，充分显示了数量积的本质属性，为向量和实数的相互转
A
B
C
O
P
B
O
A
化提供了方法和依据。
27. 已知椭圆的中心在O,右焦点为F ，右准线为L ，若在L 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22
B ⎥⎦
⎤ ⎝⎛23,0 C ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 【标准答案】
解析：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则,c OF MF ==利用平面几何折线段大于或等于直线段（中
心到准线之间的距离），则有 2c ≥c
a 2e ∴≥22，选A 。
说明：离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程
和垂直平分线性质构建。
利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。
28. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E,使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°,则线段AE 的长为（ ）
A.2
5 B.2
6 C.2 D.3
【标准答案】
解析：由∠EAB=∠EAD ，则E 点必在A 1C 1上， 且E 在面A 1C 上的射影在AC 上为F ， 如图， ∵cos ∠FAM=AF
AM =22
，
∴cos ∠BAE=AE AM =AF AM
·AE AF =cos60°=2
1，
∴cos ∠FAE= cos ∠AEA 1= AE AF =2
2
,则∠AEA 1=45°，
∴△AEA 1为等腰直角三角形，故AE=2。
29．设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--)
0(62)
0(1222x x x x x x ,若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是 （ ）
A ．（)1,-∞-),4(+∞⋃
B ．（－)3,-∞+∞⋃,2(）
C ．（－),1()4,+∞⋃-∞
D ．（－),3()2,+∞⋃-∞
A 1
B 1
D 1
B
1
E
M
F C
【标准答案】 C
30. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意R x ∈，都有)3()1(+=-x f x f ，当
[]6,4∈x 时，12)(+=x x f ，则函数)(x f 在[]0,2-上的反函数)(1
x f
-的值)19(1
-f
为
（ ）
A.15log 2
B.3－23log 2
C.5＋3log 2
D.－1－23log 2
【标准答案】
D 解析：由已知,)(2
1
,CP b a OP CP OC OP ++=
∴+= =-⋅∴)(P ρ 2
1)(])(21[=-⋅+-（|AB CP b a ⋅+-)|||22=6)24(21
22=-。