综上所述，
∫ P－积分
+∞ d x a xp
(a > 0)
P − 积分当 p > 1 时收敛；当 p ≤ 1 时发散 .
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分均存在，则
+∞
a
(1) ∫a
f
( x) d
x
=
∫− +∞
f
(x) d
x
.
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
+∞
c
+∞
(2) ∫a f (x) d x = ∫a f (x) d x + ∫c f (x) d x c ∈ R .
ln x
罗
=
lim
1
=0
x x→ +∞
x x → +∞
+∞ d x
∫= 1
x2
=−1 x
+∞ 1
= 1.
例 解
+∞ d x
∫ 计算
2a (x2 − a2 )3/ 2
(a > 0) .
令 x = a sec t , 则 x : 2a → +∞ 时, t : π → π , 故 32
+∞ d x
π / 2 a sec t tan t d t
例如： x = a 是 f (x) = 1 的一个瑕点； x−a
x = ± 1 是 g(x) = ln(1− x2 ) 的瑕点. x = ± a 是 h(x) = 1 的瑕点.
x2 − a2
(2) 瑕积分的概念
设 f (x) 在 (a, b] 上有定义 , x = a 为其瑕点.
若 ∀ ε > 0 , f (x)∈ R( [a + ε, b] ) , 记
经济数学——微积分
第六章 定积分及应用
——广义积分与Γ-函数
中央财经大学
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.
=π −(−π ) 22
=π .
y
1
y
=
1
1 + x2
O
x
+∞ x
例
∫ 计算 0 1+ x2 d x .
解
∫ +∞ x
0 1+ x2
dx=
1 ln( 1+ x2) 2
+∞ 0
= lim 1 ln( 1+ x2 ) − 0 2 x→+∞
= +∞ ,
∫ 故积分
+∞
01
x + x2
d
x
发散 .
+∞
例
计算 ∫0 cos x d x .
，
且 x : 0+ → +∞ 时，t : + ∞ → 0+，故
+∞ d x
+∞ t2 dt +∞ ( t2 +1−1) dt
∫ ∫ ∫ 0 1+ x4 = 0 1+ t 4 = 0
1+t4
∫ ∫ =
+∞ 0
1+ 1+t t2 Nhomakorabea4d
t
−
+∞ 1 d t 0 1+t4
∫ ∫ =
+∞
1
+
1 t2
0
t
2
+
1 t2
+∞ d x 0 1+ x2
= arctan
x
+∞ 0
= lim arctan x − arctan0 x→+∞
=π . 2
例
∫ 计算
+∞ d −∞ 1+
x x2
.
解
∫ +∞ d x
−∞1+ x2
= arctan x
+∞ −∞
= lim arctan x − lim arctan x
x→+∞
x →−∞
∫ ∫ 2a (x2 − a2 )3/ 2 = π /3
a3 tan3 t
1 π / 2 cost d t
∫ = a 2 π /3 sin 2t
=
1 a2
⋅
−1 sin t
π/2 π/3
=
2− 3 3 a2
.
(原积分收敛)
例
∫ 计算
+∞ d x 0 1+ x4 .
解
令
x=
1 t
，则
d
x
=
−
dt t2
+∞
+∞
+∞
(3) ∫a [α f (x) ± β g(x)]d x = α ∫a f (x) d x ± β ∫a g(x) d x .
∫ ∫ (4)
+∞
u(x)v′(x) d x
a
= u(x)v(x)
+∞ a
−
+∞
u′(x)v(x) d x .
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算.
+∞
(x)
−
F
(a)
.
∫b
f (x)d x = F(x)
−∞
b −∞
=
F
( b)
−
lim
x→−∞
F
(x)
.
∫ +∞
f (x)d x = F(x)
−∞
+∞ −∞
=
lim
x→+∞
F
(x)
−
lim
x→−∞
F
(x)
.
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例
∫ 计算
+∞ d x 0 1+ x2 .
∫ 解
f (x)d x = F(x)
a
b a
=
F (b) −
lim
x →a+
F(x) ,
( x = a 为瑕点) .
∫b
f (x)d x = F(x)
b
= lim F (x) − F (a) ,
( x = b 为瑕点) .
a
a x→b−
这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.
2. 瑕积分基本运算性质 以下均以积分下限 x = a 为唯一瑕点的情形进行叙述 ,
∫ ∫ f (x)d x = lim f (x)d x .
a
ε →0+ a
(2) 当x = c (a < c < b) 为瑕点时 ,
b
c
b
∫a f (x)d x = ∫a f (x)d x + ∫c f (x)d x
c −ε ′
b
∫ ∫ = lim f (x)d x + lim f (x)dx ,
ε ′→0+ a
t
1 x2 −1 0 tan t
π
∫= 3 sec t d t 0
π
= ln | sec t + tan t | 3 = ln ( 2 + 3) . 0
例 解
+∞ d x
计算 ∫0
. x (x − 2)
这是无穷积分与瑕积分 混合在一起的广义积分, 应设分开 .
易知 , x = 0 , x = 2 为被积函数的瑕点, 故
2 A→+∞ 0
= lim 1 (−e−u ) A→+∞ 2
A2 0
= lim ( − 1 e−A2 + 1 )
A→+∞ 2
2
= 1. 2
能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
∫ +∞
f (x)d x = F(x)
a
0+∞=
lim
x→+∞
F
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, + ∞) 上有定义 .
∀ A∈ R , A > a , 且 f (x)∈ R([a, A]) . 记
+∞
A
∫ ∫ f (x)d x = lim f (x) d x ,
a
A→+∞ a
+∞ d x
1
2
3
+∞
dx
∫0 x (x − 2) = ( ∫0 + ∫1 + ∫2 + ∫3
) x (x − 2)
∫ ∫ ∫ ∫ = (
1 0
+
2 1
+
3 2
+
+∞ 3
) ⎢⎣⎡12
⎛ ⎜ ⎝
x
1 −
2
−
1 x
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
d
x
1⎧ x−2 1
x−2 2
x−2 3
x − 2 +∞⎫
=
2
⎨ln ⎩
x
∫ +∞ d x = ln | x |
ax
+∞ a
=
lim
ln | x | − ln a
= +∞ ,
x→ +∞
故 p = 1 时，P − 积分发散 .
当 P ≠1 时: