第五章一元函数积分学
5.1 原函数和不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。

例：，sinx是cosx的原函数。

Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。

原函数存在定理：
如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。

简言之：连续函数一定有原函数。

问题：（1）原函数是否唯一？
（2）若不唯一它们之间有什么联系？
例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx
（C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。

（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）
=f（x）=f（x）=0
∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。

,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。

例：求。

【答疑编号11050101】
解：
例：求。

【答疑编号11050102】
解：
积分曲线
例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。

【答疑编号11050103】
解：设曲线方程为y=f（x）,
根据题意知
即f（x）是2x的一个原函数。

由曲线通过点（1，2）
所求曲线方程为y =x2+1。

函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。

显然，求不定积分得到一积分曲线族。

不定积分的性质
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。

5.2 基本积分公式
实例
启示能否根据求导公式得出积分公式？
结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。

基本积分表
（1）；
（2）；
（3）；
说明：
简写为
（4）；
（5）；（6）；
（7）；
（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；
（13）；
例：求积分
【答疑编号11050104】
解：
根据积分公式（2）
不定积分的性质
（1）；证。

∴等式成立。

（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（2）（k是常数，k≠0）
例：求积分。

【答疑编号11050201】
解：
例：求积分。

【答疑编号11050202】
解：。

例：。

【答疑编号11050203】
解：。

例：；
【答疑编号11050204】
例：已知f（x）之一原函数为，求∫f＇（x）dx。

【答疑编号11050205】
【答疑编号11050206】
例：求。

【答疑编号11050207】
例：
【答疑编号11050208】
例：设，求f（x）。

【答疑编号11050209】
例：。

【答疑编号11050210】
例：；
【答疑编号11050211】
例：
【答疑编号11050212】
例：。

【答疑编号11050213】
解：
例：设，且f（0）=1，求f（x）.
【答疑编号11050214】
解：因为，若设u=e x，则f＇（u）=1+u3 所以f（x）是1+x3的一个原函数，而。

故。

又f（0）=1，从而C=1。

因此
例：；
【答疑编号11050215】
例：。

【答疑编号11050216】
例：。

【答疑编号11050217】
例：。

【答疑编号11050218】
例：求积分。

【答疑编号11050219】
解：
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。

四、小结
原函数的概念：F＇（x）=f（x）
不定积分的概念：
基本积分表（1）
求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
5.3 换元积分法
一、第一类换元法
问题
解决方法利用复合函数，设置中间变量。

过程令
在一般情况下：
设F＇（u）=f（u），则
如果（可微）
由此可得换元法定理。

定理设f（u）具有原函数，可导，则有换元公式
第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
观察重点不同，所得结论不同。

例：求
【答疑编号11050301】
解（一）
解（二）
解（三）
例：求。

【答疑编号11050302】
解：。

一般地
例：求。

【答疑编号11050303】
例：求。

【答疑编号11050304】
例：求。

【答疑编号11050305】
例：求。

【答疑编号11050306】
例：求。

【答疑编号11050307】
例：求。

【答疑编号11050308】
例：求。

【答疑编号11050309】
例：求。

【答疑编号11050310】
解：。

例：求。

【答疑编号11050401】解：。

例：求。

【答疑编号11050402】
例：求。

【答疑编号11050403】
例：
【答疑编号11050404】
例：
【答疑编号11050405】
例：
【答疑编号11050406】
【答疑编号11050407】
例：
【答疑编号11050408】
例：；【答疑编号11050409】
例：求
【答疑编号11050410】解：。

（使用了三角函数恒等变形）
例：求。

【答疑编号11050411】
解：
例：
【答疑编号11050412】
解：设u=x2，则
，所以
例：。

【答疑编号11050413】
解：设u=lnx，则
，所以
例：，求f（x）。

【答疑编号11050414】
二、第二类换元法
问题
解决方法改变中间变量的设置方法。

过程令
（应用“凑微分”即可求出结果）
定理2 设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中的反函数。

第二类积分换元公式
例：。

【答疑编号11050415】
解：令
说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中n为各根指数的最小公倍数）
例：。

【答疑编号11050416】解：令
三角代换。

三角代换的目的是化掉根式。

一般规律如下：当被积函数中含有（1）可令x=asint；
（2）可令x=atant；
（3）可令x=asect。

例：求。

【答疑编号11050417】
解：令。

例：。

【答疑编号11050418】
总结：
5.4 分部积分法
一、基本内容
问题
解决思路利用两个函数乘积的求导法则。

设函数u=u（x）和v=v（x）具有连续导数，
【答疑编号11050501】
分部积分公式
例1：求积分
【答疑编号11050502】
解（一）
显然，u，v选择不当，积分更难进行。

解（二）
指数函数
例2：
【答疑编号11050503】
例3：求积分
【答疑编号11050504】
总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u。

例4：求积分
【答疑编号11050505】
总结：若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u, 使其降幂一次（假定幂指数是正整数）
例5：
【答疑编号11050506】
例6：。