(C)在x 0间断的奇函数.(D) 在x 0间断的偶函数.
解：
取f
(x)

x, x 0 1, x 0
则当x 0时，
F(x)
x
f (t)dt lim
x
tdt

1
lim
x2 2
1 x2
0
0
2 0
2
而F(0) 0 lim F(x)，所以F(x)为连续偶函数，则选(Ｂ) x0
因此，1 ln t [ln(1 t)]n dt
1
t
n
ln
t
dt.
0
0
(2)由(1)知0 un

1 ln t [ln(1 t)]n dt
0
1
t
n
ln
t
dt.
0

1tn
0
ln t
xf (x) x(cos x sin x) f (x) cos x sin x ，（x 0）
sin x cos x
sin x cos x
两边积分得 f (x) ln | sin x cos x | C
将x 0代入题中方程可得
f (0) f 1(t)dt
f (t)dt
= lim 0 x0
x
f (u)du xf (x)
= lim x0
0 x
f (u)du xf (x)
0
0
x
f (t)dt
0
= lim x0
x
f (u)du
x
= f (0) 1 . f (0) f (0) 2
0
x f (x)
【例13】(2007，17题，10分)
(A)连续的奇函数.
(B) 连续的偶函数.
(C)在x 0间断的奇函数.(D) 在x 0间断的偶函数.
四、变上限积分函数及其应用 【例10】(2006，8题，4分)
设f (x)是奇函数，除x 0处连续，x 0是其第一
类间断点，则 x f (t)dt是 0
(A)连续的奇函数.
(B) 连续的偶函数.
x
x t u
f (x t)dt
0
f (u)(du)
x f (u)du，于是
0
x
0
x
x
x
(x t) f (t)dt
x f (t)dt tf (t)dt
lim
x0
0
x
x
f (x t)dt
lim x0
0
0
x
x f (u)du
0
0
x
x
f (t)dt xf (x) xf (x)
第三章 一元函数积分学
一、不定积分的计算
【例1】(2006，16题，10分) 求
arcsin ex
ex
dx.
一、不定积分的计算
【例1】(2006，16题，10分) 求
arcsin ex
ex
dx.
解：
arcsin ex
ex
dx


arcsin exdex
ex arcsin ex e－x ex dx 1 e2x
(D)F x是单调函数 f x是单调函数.
解： 令f x 1,则取F x x 1,排除 B、C ;?
令f x x,则取F x 1 x2,排除 D;
2
故应选 A.
【例12】(2005，15题，11分) 设函数f x连续，且
0
0
0
则I、J、K的大小关系是
A. I<J<K B. I<K<J C. J<I<K D. K<J<I
【例5】(2011，4题，4分)



设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx
0
0
0
则I、J、K的大小关系是
A. I<J<K B. I<K<J C. J<I<K D. K<J<I
2
F(3)
1 (

)
3

3 F(2) ,
2 48 4
x
f ( x) 是奇函数，所以 F( x) f (t)dt 为偶函数， 0
所以 F(3) F(3) 3 F(2) , 选(C).
4
【例5】(2011，4题，4分)



设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx
2
2
【例6】(09,4 分)使不等式 x sint dt ln x 成立的 x 的范围是 1t
（A） (0, 1) （B） (1, ) （C）( , ) （D）( , )
2
2
解： 利用 ln x x 1 dt ，原问题转化为 1t
f (x)
x sint dt

故 4 lnsin xdx 4 lncos xdx 4 lncot xdx
0
0
0
即 I K J.
(09,4 分)使不等式 x sint dt ln x 成立的 x 的范围是 1t
（A） (0, 1) （B） (1, ) （C）( , ) （D）( , )
1 比较 1 ln t [ln(1 t)]n dt 与 1tn ln t dt(n 1, 2, )
0
0
的大小,说明理由.
(2)记
un
1 ln t [ln(1 t)]n dt(n 1, 2,
0
),
求极限
lim
x
un
.
解：(1)当0 t 1,ln(1 t) t, ln t [ln(1 t)]n t n ln t ,
【例11】(2005，8题，4分)
设F x是连续函数f x的一个原函数，"M N "
表示“M的充分必要条件是N ”，则必有
(A) F x是偶函数 x是奇函数.
(B) F x是奇函数 f x是偶函数. (C) F x是周期函数 f x是周期函数.
0
t
cos t

sin
t
dt

0
0
0 sin t cost
因为f
(
x)是区间0,

4

上单调、可导的函数，
则f
1 ( x)的值域为
0,

4

单调非负，所以f (0) 0代入（1）式可得C 0，
故f (x) ln | sin x cos x |
五、与定积分有关的证明题 【例16】(2010，16题，10分)
5 (B) F (3) F (2)
4 (D) F (3) 5 F (2)
4
1
2
x
3
F( x) f (t)dt
x
0
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f ( x) 在不
同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知
F(2) 1 ,
x2
2
【例3】(07,4 分)如图，连续函数y f ( x) 在区间[3, 2] ，
[2, 3] 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间
[2, 0] ，[0, 2] 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设
x
F ( x) f (t)dt ，则下列结论正确的是 【
(A)
x1 1 x2
0 1 x2
令arcsin x t，有x sin t，t [0, )
2
1 x2 arcsin xdx

2 t sin2 tdt
2
(
t

cos 2t )dt
0 1 x2
0
02 2


t2 2 1

2 td sin 2t

2
f (x) f 1(t)dt
x
t
cos t

sin
t
dt，其中f
1是f
的反函数,
0
0 sin t cost
求f (x).
解：
将 f (x) f 1(t)dt x t cost sin t dt两边对x求导得：
0
0 sin t cost
f 1( f (x)) f (x) x(cos x sin x) sin x cos x

t sin 2t
2

1

2 sin 2tdt
4 40 0
16
4 0 40

2 1
2 2 1
cos 2t .
16 8
0 16 4
四、变上限积分函数及其应用 【例10】(2006，8题，4分)
设f (x)是奇函数，除x 0处连续，x 0是其第一
类间断点，则 x f (t)dt是 0
2 1 e2x 1
【例2】(2009，16题，10分)
计算不定积分 ln(1
1 x )dx(x 0) x
【例2】(2009，16题，10分)
计算不定积分 ln(1
1 x )dx(x 0) x
解： 令
1 x x

t，得x