同理，由行列式展开定理，可得
由假设 A
0，可得 1 1 A( A ) ( A ) A E A A
A
1
即
1 A A
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
1
( A B 1 ) 1 ( E ( E B 1 A1 )) ( A B 1 ) 1 ( E E B 1 A1 ) ( A B 1 ) 1 B 1 A1 每一个都可逆，故 A B 1 ) 1 A1可逆。 (
课后思考 1、任何矩阵有逆矩阵和伴随矩阵吗？ 2、设A为n阶可逆矩阵，则 （1）(A * )-1= (A –1)*
问题的提出 在矩阵中我们推广了数的加、减、 乘 运算，我们自然就会想到矩阵是 否有类似于数的运算——除法呢？我 们知道，所谓数的除法，就是给定一 个非零的数a，存在唯一的b,使得
ab=ba=1
记 则有
于是我们自然会问，在矩阵运算中， 对于任一非零矩阵A，是否存在唯一矩 阵B，使
AB=BA=E
？
解：因为det D det A det B 0( A, B均可逆,
det A 0, det B 0), 所以D为可逆矩阵.
X 11 设 D X 21 n阶矩阵( i , j 1,2),
1
X 12 , 其中 X ij 均为 X 22
A 0 X 11 X 12 D D C B X 21 X 22 A X 11 A X 12 C X 11 B X 21 C X 12 B X 22 E 0 ( E是n阶单位阵) 0 E
所以A的逆矩阵是唯一的.
显然有单位矩阵E是可逆的，且E-1=E
满足什么条件的方阵是可逆的 ？ A A-1= A-1 A=E 设n阶方阵A可逆，由 有
所以 A 0 ，即如果方阵A可逆，有 反过来，设 A 0 作矩阵
A 0
，
是矩阵A的伴随矩阵，其中Aij 是行列 式 A 中元素aij 代数余子式.由行列式 的展开定理，可得
1
A .
1
亦可逆, 且 A

1 1
A.
5 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 ,
A B 1 1 B 1 A
证明
AB B 1 A1 ABB 1 A1
AEA1 AA1 E ,
AB B A .
A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵. A 1 证：由A2 A 2 E 0, A E E 得A A E 2 E A 2 1 1 所以 A 可逆，且 A A E . 2
又由A2 A 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
例6 设方阵A，B，AB-E均可逆，证明：
(1) A B 1可逆；
(2)( A B 1 ) 1 A1可逆，并求出它的逆矩 阵 证：(1) AB E AB B 1B ( A B 1 ) B ( A B 1 ) B 0
（( A B 1 ) 1 A1）1 故A B 可逆； ( A B 1 ) 1 B 1 A1）1 （ (2) ( A B 1 ) 1 A1 ABA A ( A B 1 ) 1 ( E ( A B 1 ) A1 )
b1 B b2
b3
求逆运算容易出错, 在求得A1后, 可验证 AA1=E, 保证结果是正确的.
可逆矩阵的性质:
（1）如果方阵A可逆，则其逆矩阵唯一。 （2） 若AB E 或BA E , 则B A .
1
3 若A可逆 , 则有 A1
4 若A可逆, 则A
1 1 1
看P47 选择题2
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1 推广
kA1 1 A1 k 1 A1. 6 若A可逆, 数k 0, 则kA可逆, 且
k
7 若A可逆, 则A
证明
T
A A A A A E E,
Aij为行列式 A中元素aij的代数余子式.
a 例如，对二阶方阵 A c 当 A ad bc 0时，有 A
1
b d b a
d 1 1 A A ad bc c
分块矩阵的逆矩阵
A 0 设A, B都是n阶可逆矩阵, 证明D 例2 C B 必为可逆矩阵, 并求D的逆矩阵.
故
1 O A 1 . D 1 C 1 1 A B BFra bibliotek同理可得：
设A、B均可逆 , 对分块矩阵 D :
A C A1 A1 C B1 ; (1)设D , 则 D 1 O 1 O B B
例5： 设方阵B为幂等矩阵，
（即 B 2 B ，从而对正整数k， k B ） B
A E B, 证明：A是可逆矩阵，且 1 1 A 3E A 证明： 2 1 A 3 E A 1 E B 3 E A 2 2 1 1 E B 3 E E B E B 2 E B 2 2 1 1 2 2 E B 2B B 2 E B 2B B E 2 2 1 1 A 3E A 2
1 A 2 E A 3 E E 4 A 2 E 1 1 1 所以 A 2 E 可逆， A 2 E A 3 E 4
课后思考：
设方阵满足方程 A 3 A 10 E 0
2
证明 : A和A 4 E都可逆，并求出它们的 逆矩阵
1
矩阵乘法运算中的“ ”
逆矩阵的定义 定义 设A是一个n阶方阵，如果存在n 阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为 A-1，即 B=A-1
由定义易知，如果方阵A可逆，则其逆 矩阵是唯一的，事实上，设B、C都是A 的逆矩阵，即 AB=BA=E AC=CA=E
则
B=BE=B(AC ) = (BA) C=EC=C
（2）(AT ) * = (A * )T 吗？
3、设A、B为n阶方阵，则(AB )* =B * A *吗
4、设A为n(n
2 )阶矩阵，则
（1）(kA) * =kA *
（2）(A * ) * =A 吗？ 5、设A、B为n阶矩阵，则 （1）(A+B )-1 =A -1 +B -1 （2）(A+B )* =A * +B * 6、设A、B为n阶方阵，且满足 A+B=AB 证明A-E为可逆矩阵；
T
亦可逆 , 且 A
1
T 1
T
1 T A .
1 T
T
T 1
A
1 T
.
用伴随矩阵来求逆矩阵的方法，对我们来说运算量偏大， 故常只用于求较低阶的矩阵的逆，或用于证明中。 A11 A21 An 1 1 A12 A22 An 2 1 A A ，其中A A A A2 n Ann 1n 其中A为A的伴随矩阵，
b1 B b2 b3
解 因为
2 A 2 0
所以A-1存在。 同理可得 A12=-3 A13=1 A22=10 A23=-4 A32=-4 A33=2
得 所以
1/ b1 B 1 1/ b2 如b1b2b30, B可逆, 且 1/ b3
1
A X 11 E , A X 12 O , 依矩阵相等的定义有 C X 11 B X 21 O , C X B X E, 12 22
从而得
A 1 , X 11 B 1 C A 1 , X 21
X 12 O , B 1 , X 22
1 O C A B 1 . ( 2)设D , 则 D 1 1 1 A CB B O A
例3 解线性方程组
解 设 则方程组可表示为AX=B
因为
因而A-1存在，因此A-1AX=A-1B，即X=A-1B
又
所以
为所求解.
例4： 设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :