A。 kI
k
O
k
nn
称为数量矩阵。
对于 s n 矩阵 A有kIn A AkIn kA 。
定义5 设 A为 n 阶方阵，k 是正整数，称 k个 A连乘积为
A 的 k 次幂，记做 Ak 1A4A2L43A ，并约定 A0 I 。
k个A
并且有： Ak Al Akl
Ak l Akl
并求A1 。若条件改为 A2 3A 2I 0 ，结论是否成立？
又已知条件不变，试证：A I 可逆，并求 A I 。 1
Q A I A 2I A2 3A 2I A2 3A I 3I 3I
A I 可逆，且 A I 1 1 A 2I
3
线性代数
第三章 矩阵代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
定理2 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件为 A 0 ，且A1 A* A
推论 设 A、B均为 n 阶矩阵，且满足AB I（或BA I） 则 A、B 均可逆，且 B A1, A B1 。
例1
A
1 3
2 9
，验证A是否可逆，若可逆求A1 。
例2 设 n 阶矩阵A满足 A2 3A I 0 ，试证：A 可逆，
第2节 矩阵的逆
求解矩阵方程
1、 AX B （其中A为n 阶可逆矩阵，B为 n m 矩阵）
方程两边左乘 A1 ：A1 AX A1B X A1B
从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。
当 B为n1矩阵时，A 可逆即 A 0，方程组的解X A1B 与克莱姆法则结果是一致的。
但是，若A、B 均为 n 阶方阵： ห้องสมุดไป่ตู้Bk Ak Bk
定理 若A、B 均为 n 阶方阵，则 AB A B 。
第二节 矩阵的逆
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
一、逆矩阵的概念
定义1 A为 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶方阵 B ， 使得AB BA I , 称A为可逆矩阵，并称 B为A的逆矩阵， 记作 B A1。
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
引进了矩阵乘法，要注意应用 s
Amm Bn
s
Cn。
a1 a2 L
b1 n
an
b2 bMn
aibi
i1
b1
b1a1 b1a2 L b1an
b2
M
a1
a2
L
an
bn
b2a1 L bn a1
b2a2 L bn a2
L L L
阵或 n 阶矩阵，由一个方阵A组成的行列式称为方阵A的行
列式，记作 A 。
向量也是矩阵，一个n 维行向量是一个1 n 矩阵，一 个m维列向量是一个 m1 矩阵。
为了统一，今后若不特殊声明，凡是向量，都是指列 向量形式，即将 n 维向量视为一个n1矩阵。
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
一、矩阵的线性运算
b2an
L bn an
设 A
aij
sn
，X
x1 M
xn
，B
b1 M
bs
则 AX B
表示线性方程组
a11 x1
L a1n xn LL
b1
as1x1 L asn xn bs
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
例4（P67/33） X ii 1, , s 为线性方程组 AX B的
求： 2A 3I
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
二、矩阵的乘法
定义2
设矩阵 A
aij
,B
sm
bij
,
mn
那么矩阵 C
cij
sn
其中
cij
ai1b1 j
ai2b2 j
aimbmj
m k 1
aik bk j
i 1, j 1,
,, sn
称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB 。
解向量，若 k1 ks 1，则 k1X 1 ks X s亦为 AX B 的解向量。
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
定义3 n 阶方阵 或 In 或 E。
1 I O
1
称为n 阶单位矩阵，记做I
单位矩阵在矩阵的乘法中有以下特殊作用：对于s n 矩阵
A有 I 定义4
n
A AIn n 阶方阵
定义1
设有二个s n 矩阵A
aij
,B
sn
bij
, 它们的加法
sn
定义为
A
B
a11
as1
b11 bs1
a12 b12
as2 bs2
a1n b1n
asn
bsn
数
k与矩阵A的乘法（简称数乘）定义为 kA
ka11
kas1
ka12
kas2
ka1n
kasn
线性代数 第三章 矩阵代数
第一节 矩阵的运算 第二节 矩阵的逆 第三节 矩阵的转置 第四节 矩阵的分块 第五节 矩阵运算后秩的变化
第一节 矩阵的运算
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
矩阵
A
a11
as1
a12 as2
a1n asn
aij
sn
当 s n 时，称 A为n 阶方
定理1 若A为 n 阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。
定义2 设 A aij nn , Aij 为 A 的元素 aij 的代数余子式，则
称矩阵
A*
A11 A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An 2
为矩阵 A的伴随矩阵。
Ann
伴随矩阵的性质：AA* A* A A I
线性代数
A B s s m m n n
AB为s n矩阵
第j列
第i行
Cij
A
B
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
例2
设
A
1 2
0 1
3 0
,
B
4 1 2
1 1 0
,
求
AB
例3
设
A
1 2
1 2
,
B
1 1
11,
求
AB, BA
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
矩阵乘法不同于一般数的乘法，应注意以下事项：
a11
as1
a12
as2
a1n 为矩阵 A的负矩阵，记作 A ，
asn
显然 A A 0 ，由负矩阵概念，可定义矩阵的减法： A B A B
线性代数
例1 设
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
1 1 2 1 0 0
A
2 1
0 1
32, I
0 0
1 0
0 1
1）矩阵乘法不满足交换律。 2）矩阵乘法不满足消去律。 3）若矩阵乘法有 AB 0 ，不见得有A 0或B 0 。
矩阵乘法运算规律： 1）矩阵乘法的结合律：
ABC ABC
2）数乘与矩阵乘法的结合律：kAB kAB AkB
3）矩阵乘法对加法的分配律：AB C AB AC B CA BA CA