2. ( )A A A
3. ( A B) A B 4. 1A A 5. 0A O 6. (1)A A
第三章 矩阵的运算
例2
设A
2 1
0 2
1 2 ,
B
1
2
1 0
3
1
,
C
3 12
6 6
3 9
,求2A
B
1 3
C.
解：
2A
B
1 3
C
4 2
11 24
01 2 432
2 0 1 4 1 3
一、矩阵加法 (i 1,, m; j 1,, n)
定义3.1.1 设矩阵A (aij )mn , B (bij )mn，称矩阵
C (aij bij )mn
为矩阵A与矩阵B的和，记作C A B.
零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵.记作: O.
设矩阵A
(aij
)m
，称矩阵
n
(aij
)
m
为
0 4 5 10
4 4
第三章 矩阵的运算
a1
例4
设A
a2 ,Βιβλιοθήκη B b1, b2 ,, bn ，则
二、矩阵的数乘
第三章 矩阵的运算
定义3.1.2 设矩阵A (aij )mn , 是一个数,矩阵
(aij )mn 称为数与矩阵A的乘积，记作 A或A，
即
A A (aij )mn
注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的.
第三章 矩阵的运算
数乘的性质： 设A，B是m n矩阵，, 是数，
1. ( A) ( ) A
y y
(a11b11 a12b21 (a21b 11 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 )t2 , (3 a23b32 )t2 .
3
我们把线性变换(3－3)叫做线性变换(3－1)与(3－2) 的乘积，相应地把(3－3)所对应的矩阵定义为(3－1)与 (3－2)所对应的矩阵的乘积，即
其中系数aij (i 1, 2,, m, j 1, 2,, n)为常数.这种从
变量x1 , x2 ,, xn到变量y1, y2 , ym的变换叫做线性变换.
a11
此线性变换的系数构成的m
n矩阵为
a21
am1
称为线性变换的系数矩阵.
第三章 矩阵的运算
a12 a1n
a22
a2
n
a11 a21
a12 a22
a13 a23
b11 b21 b31
b12
b22
b32
a11b11
a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
第三章 矩阵的运算
2.矩阵乘法的定义
2 3 1 8 1 2
三、矩阵的乘法
第三章 矩阵的运算
1.线性变换
设变量y1 , y2 , ym能用变量x1, x2 ,, xn线性表示，即：
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
定义3.1.3 设A (aij )是一个m s矩阵, B (bij ) 是一个s n矩阵,作m n矩阵C (cij )，其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj， k 1
矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积， 记作C AB,即
第三章 矩阵的运算
A B A (B) (aij bij )mn
第三章 矩阵的运算
例1 求矩阵X，使得
1 2 3
2
01
1 1 0
解：
0 1
X 3 0
1 2
1
0 1 2 3
2
X
3
0
1 1
1
1 2 2 0
2 3 1 2 3 1
1
1
2
01
2
2 0 1 1 0 1
1 3 1 4
1
0
0 3
2 1 2 1
第三章 矩阵的运算
Ch3 矩阵的运算
§3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 §3.4分块矩阵
第三章 矩阵的运算
§3.1 矩阵的运算
一、矩阵加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶距阵的行列式 六、共轭矩阵
第三章 矩阵的运算
同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵. 矩阵相等 A (aij )mn , B (bij )mn ,且aij bij A B
am 2
.
amn
设两个线性变换
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 , a23 x3 ,
(3 1)
x1 x2
b11t1 b21t1
b12t2 , b22t2 ,
x3 b31t1 b32t2 ,
(3 2)
第三章 矩阵的运算
为求出从t1, t2到y1, y2的线性变换,可将(3 2)代入(3 1)得：
a11 a12 a1s b11 b12 b1n
a21
a22
a2s
b21
b22
b2
n
am1
am 2
ams
bs1
bs 2
bsn
a11b11 a1sbs1
a21b11
a2 s bs1
a11b1n a1sbsn
a21b1n
a2
s
bsn
am1b11 amsbs1
2 8
1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
第三章 矩阵的运算
1 2
1
例3
设A
0
0 1
2 1
1
3
,
B
2
0
1 ,求AB. 3
解:
1 2 0 1
1 4
11 02 2011 12 01 23 14
AB
011210 31
0
2
1
1
1
3
3
4
11 2 2 0 0 11 1 2 21 0 3 1 4
n
A的负矩阵，
记作 A，即 A (aij )mn .
第三章 矩阵的运算
矩阵加法的性质： A, B,C,O均为m n矩阵
1. A B B A 2. ( A B) C A (B C) 3. A O O A A 4. A (A) (A) A O 5. 矩阵减法可定义为
am1b1n
amsbsn
注意(1)矩阵AB的行数等于矩阵A的行数，AB的列数等
于矩阵B的列数且AB的第i行第j列的元素是A的第i行与
B的第j列的对应元素乘积之和.
第三章 矩阵的运算
注意(2)在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵A的列 数等于右边矩阵B的行数时，乘积AB才有意义，
例如
1 2 3
3 5