由于托管架半径 RS 已知，所以只要确定了升离点的位置则托管架部分的管道形态就可以求出。将反 弯点以下部分、中间段和托管架部分的形态组合起来就可以得到管道的整体铺设形态。
2 计算分析程序的开发
求解 S 型铺管法的铺设形态关键在于确定升离点和反弯点的位置。首先要确定管道张力的水平分量 H ，假设反弯点位于托管架底端，计算出反弯点处管道倾角θ (1) 和托管架底端角度θ S 的差 Δθ 。如果 Δθ < 0 则升离点在托管架上某处，水平分力即为控制应变对应的水平分力 H ；如果 Δθ ≥ 0 则管道“搭”在托管架底 端，为了防止管道在托管架底端处失效破坏适当地增大水平分力 H ，此时管道的最大弯曲应变小于控制应 变。已知水平分力 H ，接着确定升离点和反弯点的位置，在托管架上取若干个点作为升离点的位置储存于 数组中，对于每个升离点取一系列反弯点的位置并求出每个反弯点的误差，求出最小误差作为该升离点的
1= 1 − 1 R(a) R0 (a) RW (a)
（11）
式中：1 R0 (a) 为升离点的弯矩引起的曲率，1 RW (a) 为管道自重引起的曲率， a 为中间段上任意点至升离
点的距离。其中1 R0 (a) 和1 RW (a) 可表示为：
1 = 1 (ch T a − sh T a) ， 1 = W cosθ
平分量 H 以及 Lb 、 α 、 z0 、 σ 和 h 等反弯点以下所有参数。
1.3 S 型铺设管道整体形态
T
θL
M
升离点
a
W
θ( a )
T
M
图 3 中间段曲率计算示意图
通过上面的求解过程可以进行反弯点以下部分管道形态的计算分析，而图 3 所示的升离点至反弯点之 间的中间段部分，其上任意点的曲率可以根据梁理论表示为[4] ：
（8）
式中： ε b 为反弯点以下最大弯曲应变， r 为管道半径， m = MLb EI ，为无量纲化弯矩， z 为最大弯曲应 变处的无量纲化弧坐标，满足下式：
[ ] d ⎜⎛ dθV
d z ⎝ dz
⎟⎞ ⎠ z=z
=
2hz (h2 + z 2 )2
−
⎡σ ⎢ ⎣
(h
2+ h3
z
2
2
)1
2
−
z 2h3 2 (h2 +
（4）
式中：σ = 1 α ，为无量纲化参数， z0 = −α (h1 2 ) ，为管道与海床相切点的弧坐标， β (z,α ) 为关于 z 的
级数展开式，ϕ1 (z,α ) 、ψ 1 (z,α ) 由海床接触点和反弯点处的边界条件确定，为了使式（4）各项都满足
平衡微分方程（3），可以推导出参数 q1 (z) 和 q1 (z) 的表达式为：
误差，比较各个升离点的误差而得到实际升离点，最后根据升离点的位置求得反弯点的位置。有了管道水
平分力以及升离点和反弯点的位置即可求出管道的整体铺设形态。值得注意的是该程序计算的是管道铺设
所需最小张力对应的铺设形态，图 4 为相应的程序开发流程图。
输入初始参数
计算W、 EI 等参数 计算 Δθ
求出管道整体铺设形 态
z 2 )3 4
⎤ ⎥
exp
−
σ
(z
⎦
−
z0 )q1(z)
=0
（9）
Db Lb
= (h2
+ 1)1 2
−
(h 2
+
z
2 0
)1
2
+α
2
⎡
⎢ ⎣
h1
1 2 (h2 +
z
2 0
)
3
4
−
h2 (h 2 + 1) 2
⎤ ⎥ ⎦
（10）
式中： Db 为反弯点以下水深。
利用式（8）、（9）和（10）进行反复迭代就可以求得一定反弯点 Db 下对应于控制应变的管道张力水
， T (1)
=
WLb (1 +
h 2 )1
2
（7）
在刚悬链线法中 Lb 和 h 的表达式无法直接求出，弯曲引起的管道最大应变可表示为：
εb
=
⎜⎜⎝⎛
r Lb
⎟⎟⎠⎞mmax
=
⎜⎜⎝⎛
r Lb
⎟⎟⎠⎞⎪⎩⎪⎨⎧ h 2
h + z2
− (h2
+ z 2 )1 4 h3 2
exp[− σ (z − z0 )q1 (z)]⎪⎭⎪⎬⎫
通过迭代得到管道的形态。刚悬链线法考虑了管道的弯曲刚度，其计算精度较高但计算过程比较复杂，由
于无法直接求解平衡微分方程而需要对一系列表达式进行迭代求解并使之收敛，所以它无法计算出反弯点
以下管道形态的解析解而只能求出一系列参数，然后利用这些参数迭代解出管道的近似形态。研究以刚悬
链线法为基础，其计算结果对深海和浅海都具有较好的精度。
H sinθ d s + M − V cosθ d s − (M + d M ) − W (d s)2 cosθ 2 = 0
（1）
忽略高阶项并对式(1)进一步简化，可以得到：
H sinθ ds − V cosθ d s − d M = 0
（2）
y
V+dV
反弯点
ds
M+dM
A
H+dH
s 海床
O
θV θ
− ⎪⎩⎪⎨⎧tan −1 (h
z)
−
(
α h3
2
) exp[− σ (z
−
z0 )q1 (z)] +
αh (h 2 + 1)5 4
exp[− σ (1 −
z)q2 (z)]⎪⎭⎪⎬⎫
进一步求得反弯点处的角度和张力为：
（6）
θ (1)
=
π 2
−
⎡ ⎢tan
−1
(h)
⎣
+
αh (h2 + 1)5
4
⎤ ⎥ ⎦
H 2 管单元的受力平衡图
将式（2）进行无量纲化，得到新的无量纲化平衡微分方程：
α2
d
2 (θ V dz2
)
+
h
cosθV
− z sinθV
=0
（3）
式中：α 2
=
EI
WL
3 b
，为无量纲化刚度，Lb
为反弯点以下管道的长度，θV
为管单元相对竖直方向的倾角，
z 为管单元的无量纲化弧坐标， h = H WLb ，为无量纲化水平分力。 1.2 平衡微分方程的求解
求解方程(3)时考虑了管道抗弯刚度的影响，所以使得该方程的求解变得十分复杂，无法直接求出 h 和 Lb ，需要通过数值方法对方程(3)进行迭代求解，Plunkett[2]提出了用如下渐进展开式来近似求解刚悬链线
的角度：
θV (z) = β (z,α ) + ϕ1 (z,α ) exp[−σ (z − z0 )q1 (z)]+ψ 1 (z,α ) exp[−σ (1− z)q2 (z)]
深水海底管道 S 型铺设形态分析
摘要：海底管道在深水施工铺设过程中不仅受到巨大的静水压力，同时也受到轴向拉力和弯曲的作用，管道的安全性成为
重要关注的问题。以海底管道 S 型铺管法为研究对象，运用悬链线理论建立了管道的静平衡微分方程，通过理论分析给出 了迭代求解管道整体形态的数值计算方法，并开发了相应的计算分析程序，分析了不同铺设水深、管径、配重层厚度、托管 架长度和控制应变等参数对管道铺设形态的影响。结果表明，当铺管船托管架底端倾角较大时，铺设水深大、管径小、控制 应变大则管道铺设形态较陡；当铺管船托管架底端倾角较小时，托管架长、管道初始倾角大、托管架半径小则管道铺设形态 较陡；混凝土配重层厚度对管道铺设形态的影响不明显。
以水深适应性较强的S型铺管法为研究对象，运用悬链线理论建立管道的静平衡微分方程，用数值方 法对方程进行求解，并结合中间段和托管架部分由双重迭代确定管道升离点和反弯点的位置进而求解管道 的整体铺设形态。在理论分析的基础上应用数值方法开发了相应的计算分析程序，对影响管道铺设形态的 各参数进行了敏感性分析，得到了不同初始参数下管道铺设形态的变化规律[10]。图 1 为S型铺管法的铺设 形态图，自上而下分为三部分，分别是托管架部分、升离点和反弯点之间的中间段和反弯点至海床部分[11]。
1.1 平衡微分方程的建立 首先建立管单元的静平衡微分方程，图 2 为反弯点以下管道的示意图，设管道与海床的接触点为原点
O ，管道任意点至海床的距离为 s ，分别沿水平和竖直方向建立x和y轴，在反弯点以下任意点处取管单元， 管单元中 H 表示管道张力的水平分量，V 表示管道张力的竖向分量，W 为管道的浮重度，也就是单位管 长在水中的重量， M 为作用在管道上的弯矩。由管单元的力矩平衡可列出平衡微分方程为[12]：
1000
800
水深/m
600
400
OFFPIPE软件
悬链线理论 200
3 管道铺设形态分析
0
0
200 400 600 800 1000 1200
水平距离/m
图 5 悬链线理论与 OFFPIPE 软件计算结果的
S 型铺管法的管道铺设形态随铺设条件和管道规格的不同而变化明显，为了研究不同初始参数对管道 铺设形态的影响，通过若干算例分析了不同铺设水深、管道直径、混凝土配重层厚度、托管架长度、管道
∫ ∫ q1(z)
=
z
1 − z0
z
(ζ
z0
2
+
h2 )1 4d ζ
， q2 (z)
=
1 1− z
1
(ζ
z
2
+ h2 )1 4d ζ